Una tentación natural al empezar con trigonometría es pensar que sen(A + B) debería ser sen A + sen B. Es falso. Compruébalo: sen(π/6 + π/3) = sen(π/2) = 1, pero sen(π/6) + sen(π/3) = 1/2 + √3/2 ≈ 1,37. La función seno no reparte la suma de esa manera. Las fórmulas de suma y diferencia de ángulos dan la relación correcta, y son una de las herramientas más potentes del Nivel Superior.
Su utilidad es doble. Por un lado permiten obtener valores exactos de ángulos que no son "notables", como 15° o 75°, descomponiéndolos en sumas de ángulos que sí lo son. Por otro, son el origen de las fórmulas del ángulo doble, imprescindibles para integrar, para resolver ecuaciones trigonométricas y para conectar con el teorema de De Moivre que verás en el bloque de números complejos (TANS 1.14).
Fórmulas de suma y diferencia
Las seis identidades fundamentales
Para dos ángulos cualesquiera A y B, las razones trigonométricas de su suma y de su diferencia se obtienen a partir de las razones de A y de B por separado. El IB las incluye en el cuadernillo de fórmulas de NS, pero conviene conocerlas de memoria para no perder tiempo en el examen.
Fórmulas de suma y diferencia
- sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B
- sen(A − B) = sen A cos B − cos A sen B
- cos(A + B) = cos A cos B − sen A sen B
- cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B
- tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 − tan A tan B)
- tan(A − B) = (tan A − tan B) / (1 + tan A tan B)
Atención a los signos: en el coseno el signo del segundo miembro va cambiado respecto al de la operación (cos de una suma lleva un menos). En la tangente, el signo del denominador también va cambiado respecto al del numerador.
Valores exactos con las fórmulas de suma
El uso más inmediato es calcular razones de ángulos no notables. La idea es escribir el ángulo objetivo como suma o diferencia de dos ángulos cuyas razones conozcas de memoria: 30°, 45°, 60°, 90° y sus equivalentes en radianes π/6, π/4, π/3, π/2.
Ejemplo 1 — valor exacto de cos 15°. Calcula el valor exacto de cos(π/12), es decir, cos 15°.
- Escribimos 15° como diferencia de ángulos notables: 15° = 45° − 30°, o sea π/12 = π/4 − π/6.
- Aplicamos cos(A − B) = cos A cos B + sen A sen B con A = π/4, B = π/6:
cos(π/12) = cos(π/4)cos(π/6) + sen(π/4)sen(π/6). - Sustituimos valores notables: cos(π/4) = √2/2, cos(π/6) = √3/2, sen(π/4) = √2/2, sen(π/6) = 1/2.
cos(π/12) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4. - Resultado: cos(π/12) = (√6 + √2)/4. Comprobación decimal: (2,449 + 1,414)/4 ≈ 3,863/4 ≈ 0,966, que coincide con cos 15° ≈ 0,966. ✓
Ejemplo 2 — valor exacto de tan 75°. Calcula el valor exacto de tan(5π/12), es decir, tan 75°.
- Escribimos 75° = 45° + 30°, o sea 5π/12 = π/4 + π/6.
- Aplicamos tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) con tan(π/4) = 1 y tan(π/6) = 1/√3:
tan(5π/12) = (1 + 1/√3) / (1 − 1·(1/√3)) = (1 + 1/√3) / (1 − 1/√3). - Multiplicamos numerador y denominador por √3: tan(5π/12) = (√3 + 1)/(√3 − 1).
- Racionalizamos multiplicando por (√3 + 1): numerador (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3; denominador (√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2.
tan(5π/12) = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3 ≈ 3,732, que coincide con tan 75° ≈ 3,732. ✓
Ejemplo 3 — combinar dos ángulos con datos parciales. Sean A y B dos ángulos del primer cuadrante con sen A = 3/5 y cos B = 5/13. Calcula sen(A + B).
- Necesitamos cos A y sen B. Como A está en el primer cuadrante, cos A > 0: cos A = √(1 − 9/25) = √(16/25) = 4/5.
- Igualmente sen B > 0: sen B = √(1 − 25/169) = √(144/169) = 12/13.
- Aplicamos sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B = (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13).
- sen(A + B) = 15/65 + 48/65 = 63/65 ≈ 0,969.
Fórmulas del ángulo doble
Deducción a partir de las fórmulas de suma
Las fórmulas del ángulo doble no son una herramienta separada: se obtienen tomando las fórmulas de suma y haciendo B = A. El "doble" aparece solo porque A + A = 2A. Verlas deducidas así te ahorra memorizar y, sobre todo, te permite reconstruirlas si en el examen te quedas en blanco.
Partimos de sen(A + B) = sen A cos B + cos A sen B y ponemos B = A:
sen 2A = sen A cos A + cos A sen A = 2 sen A cos A.
Partimos de cos(A + B) = cos A cos B − sen A sen B y ponemos B = A:
cos 2A = cos A cos A − sen A sen A = cos²A − sen²A.
Esta última admite dos reescrituras usando sen²A + cos²A = 1. Sustituyendo sen²A = 1 − cos²A se obtiene cos 2A = 2cos²A − 1; sustituyendo cos²A = 1 − sen²A se obtiene cos 2A = 1 − 2sen²A. Las tres versiones son equivalentes y conviene tener las tres a mano: cada una simplifica un tipo distinto de problema.
Para la tangente, partimos de tan(A + B) = (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) con B = A:
tan 2A = (tan A + tan A) / (1 − tan A · tan A) = 2 tan A / (1 − tan²A).
Fórmulas del ángulo doble
- sen 2θ = 2 sen θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sen²θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sen²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ) (válida si tan²θ ≠ 1)
| Versión de cos 2θ | Cuándo conviene usarla |
|---|---|
| cos²θ − sen²θ | Caso general, deducción directa. |
| 2cos²θ − 1 | Cuando solo conoces el coseno, o al integrar cos²θ. |
| 1 − 2sen²θ | Cuando solo conoces el seno, o al integrar sen²θ. |
Ejemplo 4 — ángulo doble con datos parciales. Sea θ un ángulo del segundo cuadrante con sen θ = 4/5. Calcula sen 2θ, cos 2θ y tan 2θ.
- Como θ está en el segundo cuadrante, cos θ < 0: cos θ = −√(1 − 16/25) = −√(9/25) = −3/5.
- sen 2θ = 2 sen θ cos θ = 2·(4/5)·(−3/5) = −24/25.
- cos 2θ = 1 − 2sen²θ = 1 − 2·(16/25) = 1 − 32/25 = −7/25.
- tan 2θ = sen 2θ / cos 2θ = (−24/25)/(−7/25) = 24/7 ≈ 3,43. Comprobación con la fórmula de la tangente: tan θ = sen θ/cos θ = (4/5)/(−3/5) = −4/3, luego tan 2θ = 2(−4/3)/(1 − 16/9) = (−8/3)/(−7/9) = (−8/3)·(−9/7) = 72/21 = 24/7. ✓
Error frecuente
Escribir cos 2θ = 2cos²θ "olvidando el −1", o usar sen 2θ = sen²θ. La fórmula del seno doble lleva el factor 2 y el producto sen θ cos θ —no es un cuadrado—; la del coseno doble es una diferencia. Otro fallo habitual: en problemas con cuadrante, tomar la raíz cuadrada siempre positiva. El signo de cos θ (o de sen θ) lo decide el cuadrante, no la raíz. En el Ejemplo 4, olvidar el signo negativo de cos θ habría dado sen 2θ con signo equivocado.
El puente con el teorema de De Moivre
En el bloque de números complejos verás el teorema de De Moivre (TANS 1.14): (cos θ + i sen θ)ⁿ = cos nθ + i sen nθ. Si lo aplicas con n = 2 y desarrollas el cuadrado del binomio, obtienes (cos θ + i sen θ)² = cos²θ + 2i sen θ cos θ + i²sen²θ = (cos²θ − sen²θ) + i(2 sen θ cos θ). Igualando esto con cos 2θ + i sen 2θ y separando parte real e imaginaria, recuperas exactamente las dos fórmulas del ángulo doble. No es casualidad: las fórmulas de suma y la multiplicación de complejos son la misma estructura vista desde dos lenguajes distintos.
En NS estas fórmulas aparecen sobre todo en tres contextos: (i) demostrar identidades —empieza siempre por el miembro más complejo y desarrolla hacia el más simple—; (ii) resolver ecuaciones, donde reescribir sen 2θ o cos 2θ en función de θ permite factorizar; (iii) integrar, donde cos 2θ = 2cos²θ − 1 transforma una potencia en una expresión lineal integrable. Memoriza las tres fórmulas de suma y las tres versiones de cos 2θ; el resto lo deduces. Y comprueba siempre los valores exactos con una estimación decimal: detecta errores de signo en segundos.