Hasta ahora has trabajado con tres razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. El Nivel Superior amplía ese juego con tres compañeras —secante, cosecante y cotangente— que no aportan información nueva sobre el ángulo, sino que son simplemente los recíprocos de las anteriores. Su valor está en la comodidad: muchas identidades, derivadas e integrales del temario de NS se escriben de forma mucho más limpia cuando dispones de estas tres razones. La derivada de tan x, por ejemplo, es exactamente sec²x.
La segunda mitad del subtema cambia de dirección: en lugar de partir de un ángulo y obtener una razón, partiremos de una razón y querremos recuperar el ángulo. Esa operación inversa es la que realizan arcsen, arccos y arctan. Como las funciones trigonométricas se repiten periódicamente, no son inyectivas, y para poder invertirlas hay que recortarlas a una rama principal. Entender ese recorte es la clave para no equivocarte con los dominios y los recorridos.
Las razones trigonométricas recíprocas
Definición de secante, cosecante y cotangente
Las tres razones recíprocas se definen como los inversos multiplicativos de coseno, seno y tangente, respectivamente. Conviene fijarse en una pequeña trampa del nombre: la secante es la recíproca del coseno, no del seno, y la cosecante es la recíproca del seno. La regla mnemotécnica habitual es mirar la tercera letra: secante ↔ coseno; cosecante ↔ seno.
Razones trigonométricas recíprocas
Para todo ángulo θ en el que los denominadores no se anulen:
- Secante: sec θ = 1/cos θ (definida si cos θ ≠ 0)
- Cosecante: cosec θ = 1/sen θ (definida si sen θ ≠ 0)
- Cotangente: cot θ = 1/tan θ = cos θ/sen θ (definida si sen θ ≠ 0)
Como cualquiera de ellas es el recíproco de un número que nunca supera 1 en valor absoluto para seno y coseno, sec θ y cosec θ cumplen siempre |sec θ| ≥ 1 y |cosec θ| ≥ 1: jamás toman valores en el intervalo abierto (−1, 1).
La cotangente admite dos escrituras equivalentes. Como 1/tan θ, está indefinida donde tan θ = 0, es decir, en θ = kπ; pero también está indefinida donde tan θ no existe, en θ = π/2 + kπ. La expresión cos θ/sen θ resuelve la ambigüedad: cot θ está definida exactamente donde sen θ ≠ 0, y en θ = π/2 vale cos(π/2)/sen(π/2) = 0/1 = 0, un valor perfectamente correcto que la fórmula 1/tan θ no sabría dar.
Las identidades pitagóricas derivadas
De la identidad fundamental sen²θ + cos²θ = 1 se obtienen otras dos, igual de útiles, dividiendo por cos²θ o por sen²θ. Estas versiones son las que aparecen una y otra vez al integrar y al resolver ecuaciones en NS, así que merece la pena verlas deducidas, no solo memorizadas.
Partimos de sen²θ + cos²θ = 1 y dividimos cada término entre cos²θ (válido siempre que cos θ ≠ 0):
sen²θ/cos²θ + cos²θ/cos²θ = 1/cos²θ ⇒ tan²θ + 1 = sec²θ.
Si en cambio dividimos sen²θ + cos²θ = 1 entre sen²θ (válido si sen θ ≠ 0):
sen²θ/sen²θ + cos²θ/sen²θ = 1/sen²θ ⇒ 1 + cot²θ = cosec²θ.
Identidades pitagóricas en NS
- sen²θ + cos²θ = 1 (la fundamental, válida para todo θ)
- 1 + tan²θ = sec²θ (válida si cos θ ≠ 0)
- 1 + cot²θ = cosec²θ (válida si sen θ ≠ 0)
Ejemplo 1 — calcular las seis razones de un ángulo. Sea θ un ángulo del primer cuadrante con sen θ = 3/5. Halla las seis razones trigonométricas de θ.
- De sen²θ + cos²θ = 1: cos²θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25. Como θ está en el primer cuadrante, cos θ > 0, luego cos θ = 4/5.
- tan θ = sen θ/cos θ = (3/5)/(4/5) = 3/4.
- Las recíprocas: cosec θ = 1/sen θ = 5/3; sec θ = 1/cos θ = 5/4; cot θ = 1/tan θ = 4/3.
- Comprobación con la identidad derivada: 1 + tan²θ = 1 + 9/16 = 25/16, y sec²θ = (5/4)² = 25/16. Coincide. ✓
Ejemplo 2 — simplificar una expresión. Demuestra que la expresión sec²θ − tan²θ + cot²θ es igual a cosec²θ.
- Por la primera identidad derivada, sec²θ − tan²θ = (1 + tan²θ) − tan²θ = 1.
- La expresión queda entonces 1 + cot²θ.
- Por la segunda identidad derivada, 1 + cot²θ = cosec²θ. Queda demostrado. ✓
Ejemplo 3 — ecuación con razones recíprocas. Resuelve sec²θ = 4 para θ ∈ [0, 2π).
- sec²θ = 4 ⇒ 1/cos²θ = 4 ⇒ cos²θ = 1/4 ⇒ cos θ = ±1/2.
- Para cos θ = 1/2 en [0, 2π): θ = π/3 y θ = 5π/3.
- Para cos θ = −1/2 en [0, 2π): θ = 2π/3 y θ = 4π/3.
- Las cuatro soluciones son θ ∈ {π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3}.
Error frecuente
Tratar de resolver cosec θ = 0,5 o sec θ = −0,7 y dar soluciones. No las hay. Como cosec θ = 1/sen θ y |sen θ| ≤ 1, se cumple siempre |cosec θ| ≥ 1; lo mismo para la secante. Cualquier ecuación de la forma sec θ = c o cosec θ = c con |c| < 1 no tiene solución. Comprobar el rango antes de empezar a despejar te ahorra trabajo y evita inventar soluciones.
Las funciones trigonométricas inversas
Por qué hace falta restringir el dominio
La función seno asigna a cada ángulo un número entre −1 y 1, pero lo hace de forma masivamente repetida: sen 0 = sen π = sen 2π = 0, y así infinitas veces por la periodicidad. Una función así no es inyectiva, y solo las funciones inyectivas admiten inversa. Para construir arcsen tenemos que quedarnos con un solo tramo del seno en el que sí sea inyectivo: ese tramo es la rama principal.
Por convención internacional —la que usan tu calculadora, el IB y prácticamente todos los manuales— las ramas principales son las siguientes. El seno se restringe a [−π/2, π/2], donde crece de −1 a 1 sin repetirse. El coseno se restringe a [0, π], donde decrece de 1 a −1. La tangente se restringe al intervalo abierto (−π/2, π/2), donde crece de −∞ a +∞.
| Función inversa | Dominio | Recorrido (imagen) |
|---|---|---|
| arcsen x | [−1, 1] | [−π/2, π/2] |
| arccos x | [−1, 1] | [0, π] |
| arctan x | ℝ (todos los reales) | (−π/2, π/2) |
El intercambio entre dominio y recorrido es la firma de toda función inversa: el dominio de arcsen es el recorrido del seno restringido ([−1, 1]) y el recorrido de arcsen es el dominio del seno restringido ([−π/2, π/2]). Gráficamente, la curva de cada función inversa es la reflexión de su rama principal respecto de la recta y = x.
Definición operativa de las inversas
- arcsen x es el único ángulo de [−π/2, π/2] cuyo seno vale x. Su gráfico es creciente, va del punto (−1, −π/2) al punto (1, π/2).
- arccos x es el único ángulo de [0, π] cuyo coseno vale x. Su gráfico es decreciente, va del punto (−1, π) al punto (1, 0).
- arctan x es el único ángulo de (−π/2, π/2) cuya tangente vale x. Su gráfico es creciente y tiene dos asíntotas horizontales: y = π/2 cuando x → +∞ e y = −π/2 cuando x → −∞.
Cuidado con los ángulos fuera de la rama principal
La consecuencia práctica más importante es que arcsen, arccos y arctan no siempre te devuelven el ángulo que esperabas. Si calculas el seno de un ángulo y luego le aplicas arcsen, recuperas el ángulo original solo si este estaba dentro de la rama principal. Fuera de ella, obtienes otro ángulo —el representante de la rama principal que tiene el mismo seno—.
Ejemplo 4 — valores exactos de funciones inversas. Calcula sin calculadora: (a) arcsen(−1/2); (b) arccos(−√2/2); (c) arctan(√3).
- (a) Buscamos el ángulo de [−π/2, π/2] cuyo seno es −1/2. Como sen(π/6) = 1/2 y el seno es impar, sen(−π/6) = −1/2. Además −π/6 ∈ [−π/2, π/2]. Luego arcsen(−1/2) = −π/6.
- (b) Buscamos el ángulo de [0, π] cuyo coseno es −√2/2. Sabemos que cos(π/4) = √2/2; el ángulo de [0, π] con coseno negativo de ese mismo valor absoluto es el suplementario, π − π/4 = 3π/4. Luego arccos(−√2/2) = 3π/4.
- (c) Buscamos el ángulo de (−π/2, π/2) cuya tangente es √3. Como tan(π/3) = √3 y π/3 ∈ (−π/2, π/2), se tiene arctan(√3) = π/3.
Error frecuente
Dar arccos de un valor negativo como un ángulo negativo. El recorrido de arccos es [0, π], que es todo no negativo: arccos nunca devuelve un ángulo negativo. Si la entrada es negativa, la salida es un ángulo del segundo cuadrante (entre π/2 y π), no del cuarto. Confundir esto con el comportamiento de arcsen —que sí devuelve ángulos negativos— es uno de los fallos más penalizados de la Prueba 1.
Tres reflejos rentables en NS. (i) Antes de resolver una ecuación con sec o cosec, comprueba que el valor pedido cumple |c| ≥ 1; si no, escribe directamente "sin solución". (ii) Al usar arcsen/arccos/arctan ten siempre presente su recorrido —[−π/2, π/2], [0, π], (−π/2, π/2)— y comprueba que tu respuesta cae dentro; si la pregunta pide todas las soluciones de un intervalo mayor, la inversa solo te da una y debes completar con la periodicidad. (iii) Recuerda que sec²θ − tan²θ = 1 y cosec²θ − cot²θ = 1: estas dos diferencias valen 1 y simplifican muchísimas expresiones.