5.18 Ecuaciones diferenciales y método de Euler (solo NS)

Una ecuación normal tiene como incógnita un número: resolver 2x + 1 = 7 es hallar x = 3. Una ecuación diferencial es más ambiciosa: su incógnita es una función entera, y la ecuación la describe a través de su ritmo de cambio. La razón de que sean tan importantes es que casi ninguna ley de la naturaleza dice cuánto vale una cantidad; dice cómo cambia. La velocidad de enfriamiento de un café, el ritmo de desintegración de un isótopo, el crecimiento de una población: todas son afirmaciones sobre derivadas.

En este subtema verás cuatro maneras de atacar una ecuación diferencial de primer orden. El método de Euler la resuelve numéricamente, paso a paso, sin necesidad de hallar una fórmula. Las otras tres —variables separables, sustitución homogénea y factor integrante— la resuelven exactamente, cada una para un tipo concreto de ecuación. Saber reconocer cuál es cuál es la mitad del trabajo.

Resolución numérica: el método de Euler

La idea: seguir la pendiente a pasitos

Muchas ecuaciones diferenciales no tienen solución expresable con funciones elementales. Aun así se puede dibujar su solución punto a punto. La ecuación dy/dx = f(x, y) te dice la pendiente de la curva solución en cualquier punto del plano. El método de Euler parte de un punto conocido y avanza dando pasos cortos en la dirección que marca esa pendiente, como quien recorre una ladera mirando solo la inclinación bajo sus pies.

Ejemplo 1 — método de Euler. Resolver numéricamente dy/dx = x + y con y(0) = 1, usando h = 0,5, para estimar y(1,5).

1. Partida: x₀ = 0, y₀ = 1. Pendiente: f(0, 1) = 0 + 1 = 1.
2. Paso 1: x₁ = 0,5; y₁ = 1 + 0,5·1 = 1,5. Pendiente: f(0,5, 1,5) = 0,5 + 1,5 = 2.
3. Paso 2: x₂ = 1,0; y₂ = 1,5 + 0,5·2 = 2,5. Pendiente: f(1, 2,5) = 1 + 2,5 = 3,5.
4. Paso 3: x₃ = 1,5; y₃ = 2,5 + 0,5·3,5 = 4,25. Estimación: y(1,5) ≈ 4,25.

Resolución exacta: tres tipos de ecuación

Variables separables

Una ecuación es de variables separables si puede escribirse de modo que un lado dependa solo de y y el otro solo de x. Se tratan los diferenciales dy y dx como factores algebraicos, se separan y se integra cada lado.

Ejemplo 2 — variables separables. Resolver dy/dx = xy con y(0) = 2.

1. Separamos: (1/y) dy = x dx.
2. Integramos los dos lados: ∫(1/y) dy = ∫x dx ⇒ ln|y| = x²/2 + C.
3. Despejamos: y = A·e^x²/2, donde A = ±e^C es una constante nueva.
4. Aplicamos la condición inicial: y(0) = 2 ⇒ 2 = A·e⁰ = A. Solución: y = 2e^x²/2. Comprobación: y′ = 2e^x²/2·x = x·y. ✓

Un caso emblemático es la ecuación logística, que modela poblaciones con recursos limitados: dn/dt = kn(a − n). Es separable, pero al integrar aparece ∫dn/[n(a − n)], que se resuelve descomponiendo en fracciones parciales (técnica de TANS 1.11 y 5.15): 1/[n(a−n)] = (1/a)·[1/n + 1/(a−n)]. Integrando, ln|n/(a−n)| = akt + C, y despejando se obtiene la conocida curva en forma de S, que crece rápido y luego se aplana al acercarse a la capacidad a.

Ecuaciones homogéneas: la sustitución y = vx

Una ecuación es homogénea si puede escribirse como dy/dx = f(y/x): el lado derecho depende solo del cociente y/x. No es separable tal cual, pero la sustitución y = vx (donde v es una nueva función de x) la convierte en una. Derivando con la regla del producto, dy/dx = v + x·dv/dx.

Ejemplo 3 — ecuación homogénea. Resolver dy/dx = (x + y)/x.

1. El lado derecho es (x+y)/x = 1 + y/x: depende solo de y/x, luego es homogénea.
2. Sustituimos y = vx, de donde dy/dx = v + x·dv/dx. La ecuación pasa a ser v + x·dv/dx = 1 + v.
3. Las v se cancelan: x·dv/dx = 1, que ya es separable: dv = (1/x) dx.
4. Integramos: v = ln|x| + C. Deshacemos con v = y/x: y = x(ln|x| + C). Comprobación: y′ = ln|x| + C + 1, y (x+y)/x = 1 + (ln|x|+C). ✓

Ecuaciones lineales: el factor integrante

Una ecuación es lineal de primer orden si tiene la forma y′ + P(x)·y = Q(x). No suele ser separable, pero hay un truco precioso: multiplicarla por el factor integrante I(x) = e^{∫P(x) dx}. Tras multiplicar, el lado izquierdo se convierte exactamente en la derivada del producto (I·y)′, y la ecuación se integra de un golpe.

Ejemplo 4 — factor integrante. Resolver y′ + (2/x)y = x, para x > 0, con y(1) = 3.

1. Aquí P(x) = 2/x. Factor integrante: I = e^{∫(2/x) dx} = e^{2 ln x} = e^{ln x²} = x².
2. Multiplicamos la ecuación por x²: x²y′ + 2xy = x³. El lado izquierdo es (x²y)′.
3. Integramos: x²y = ∫x³ dx = x⁴/4 + C, de donde y = x²/4 + C/x².
4. Condición inicial: y(1) = 3 ⇒ 3 = 1/4 + C ⇒ C = 11/4. Solución: y = x²/4 + 11/(4x²).

Aplicaciones reales

Las ecuaciones diferenciales de primer orden están detrás de varios modelos clásicos. La ley del enfriamiento de Newton dice que la temperatura de un cuerpo cambia a un ritmo proporcional a la diferencia con el ambiente: dT/dt = −k(T − T_amb), separable, con solución exponencial decreciente hacia T_amb. El crecimiento de población sin límite de recursos sigue dP/dt = kP, cuya solución es la exponencial P = P₀e^kt; con recursos limitados se usa la logística vista antes. La datación por carbono-14 se apoya en la desintegración radiactiva dN/dt = −λN: midiendo cuánto ¹⁴C queda en un resto orgánico y resolviendo la ecuación se calcula su antigüedad.