5.19 Series de Maclaurin (solo NS)

Las funciones que más usas —e^x, sen x, cos x, ln(1+x)— no son polinomios, y precisamente por eso no se pueden calcular «a mano»: ¿cuánto vale e^0,1? La idea brillante de la serie de Maclaurin es que, cerca de x = 0, cualquiera de esas funciones se comporta como un polinomio infinito. Y los polinomios sí se calculan: solo suman, restan y multiplican. Una calculadora que halla sen 0,3 está, por dentro, sumando los primeros términos de una serie.

Hay algo casi mágico en esto: las derivadas de una función en un solo punto, x = 0, contienen información suficiente para reconstruir la función entera en todo un entorno. Este subtema cierra el Tema 5 conectando varias herramientas que ya conoces —derivadas sucesivas, integración, el caso e^x sen x de 5.16, las ecuaciones diferenciales de 5.18—: todas confluyen en la idea de representar una función como suma de potencias.

La serie de Maclaurin y los desarrollos básicos

Definición a partir de las derivadas

Si una función f admite derivadas de todos los órdenes en x = 0, su serie de Maclaurin es el desarrollo en potencias de x en torno al origen.

El método directo para hallar una serie es, pues, derivar la función varias veces, evaluar cada derivada en 0 y montar el desarrollo. La guía AA pide tener memorizados —o saber deducir— seis desarrollos fundamentales:

Ejemplo 1 — deducir la serie de e^x por derivadas.

1. Sea f(x) = e^x. Todas sus derivadas son e^x: f′ = f″ = f‴ = … = e^x.
2. Evaluadas en 0: f(0) = f′(0) = f″(0) = … = e⁰ = 1.
3. Montamos la serie: e^x = 1 + 1·x + 1·x²/2! + 1·x³/3! + …
4. Resultado: e^x = Σ xⁿ/n! para n = 0, 1, 2, … Comprobación numérica: con cuatro términos, e¹ ≈ 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 = 2,6667, ya cerca de e ≈ 2,71828.

Ejemplo 2 — serie binómica con exponente fraccionario. Hallar el desarrollo de √(1+x) = (1+x)^1/2 hasta el término en x³.

1. Aplicamos la fórmula binómica con p = 1/2.
2. Coeficiente de x: p = 1/2. Coeficiente de x²: p(p−1)/2! = (1/2)(−1/2)/2 = −1/8.
3. Coeficiente de x³: p(p−1)(p−2)/3! = (1/2)(−1/2)(−3/2)/6 = (3/8)/6 = 1/16.
4. Resultado: √(1+x) ≈ 1 + x/2 − x²/8 + x³/16. Comprobación: en x = 0,2 da 1 + 0,1 − 0,005 + 0,0005 = 1,0955, frente a √1,2 ≈ 1,09545. ✓

Construir series nuevas a partir de las conocidas

Casi nunca hace falta derivar desde cero. Las seis series de la tabla son ladrillos: combinándolas con cuatro operaciones —sustitución, multiplicación, derivación e integración término a término— se obtiene la serie de muchísimas funciones más, y mucho más rápido.

Sustitución simple

Si reemplazas x por otra expresión en una serie conocida, obtienes la serie de la función compuesta.

Ejemplo 3 — serie de e^x² por sustitución. Hallar el desarrollo de e^x² hasta el término en x⁶.

1. Partimos de e^u = 1 + u + u²/2! + u³/3! + …
2. Sustituimos u = x²: e^x² = 1 + x² + (x²)²/2! + (x²)³/3! + …
3. Simplificamos las potencias: e^x² = 1 + x² + x⁴/2 + x⁶/6 + …
4. Observa lo útil que es: esta función no tiene primitiva elemental, pero su serie sí se integra término a término, lo que permite calcular ∫e^x² dx de forma aproximada.

Multiplicación de series

El producto de dos funciones tiene como serie el producto de sus series, recogiendo los términos del mismo grado. Es el caso e^x sen x que en 5.16 resolvías por partes; aquí lo atacas con series.

Ejemplo 4 — serie de e^x sen x hasta x³.

1. e^x ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 ; sen x ≈ x − x³/6.
2. Multiplicamos y agrupamos por grados. Grado 1: 1·x = x. Grado 2: 1·0 + x·x = x².
3. Grado 3: 1·(−x³/6) + x·0 + (x²/2)·x = −x³/6 + x³/2 = x³/3.
4. Resultado: e^x sen x ≈ x + x² + x³/3. Comprobación: la primitiva (1/2)e^x(sen x−cos x) de 5.16, derivada, confirma el integrando; y numéricamente, en x = 0,2 la serie da 0,2 + 0,04 + 0,00267 = 0,24267 frente a e^0,2·sen 0,2 ≈ 1,2214·0,19867 ≈ 0,24266. ✓

Derivación e integración término a término

Una serie de potencias se puede derivar e integrar como si fuera un polinomio: derivando cada término o integrando cada término. Así, por ejemplo, derivar la serie de sen x reproduce la de cos x, e integrar la serie geométrica 1/(1+x²) = 1 − x² + x⁴ − … produce la de arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − …

Series a partir de una ecuación diferencial

Cuando una función se define mediante una ecuación diferencial, se puede hallar su serie de Maclaurin sin resolver la ecuación. El truco: la ecuación, evaluada en x = 0, da una derivada; derivándola repetidamente y volviendo a evaluar en 0 se consiguen las demás.

Ejemplo 5 — serie a partir de una EDO. Sea y la función que cumple dy/dx = x + y con y(0) = 1. Hallar su serie de Maclaurin hasta el término en x³.

1. y(0) = 1 (dato). De y′ = x + y, en x = 0: y′(0) = 0 + 1 = 1.
2. Derivamos la ecuación: y″ = 1 + y′. En 0: y″(0) = 1 + 1 = 2.
3. Derivamos otra vez: y‴ = y″. En 0: y‴(0) = 2.
4. Montamos la serie: y ≈ 1 + 1·x + 2·x²/2! + 2·x³/3! = 1 + x + x² + x³/3. Esto coincide con la serie de la solución exacta y = 2e^x − x − 1, la misma EDO que en 5.18 aproximaste por Euler.