Imagina que un control de calidad revisa 20 bombillas de un lote y cuenta cuántas son defectuosas; o que un alumno responde al azar 15 preguntas de test de cuatro opciones y cuenta cuántas acierta; o que se lanza una moneda 10 veces y se cuenta el número de caras. Las tres situaciones tienen la misma estructura: un experimento que se repite un número fijo de veces, cada repetición con solo dos desenlaces y con la misma probabilidad. La variable que cuenta los «aciertos» sigue, en todos los casos, la misma distribución de probabilidad: la distribución binomial.
El subtema NM 4.8 toma la idea general de variable aleatoria discreta de 4.7 y la concreta en el modelo discreto más importante de la asignatura. Aprenderás a reconocer cuándo una situación es binomial, a escribirla con la notación X ~ B(n, p), a calcular probabilidades con la calculadora gráfica y a obtener su media y su varianza con fórmulas directas. Es además la base estadística sobre la que se apoyan numerosos contextos de la Exploración.
El modelo binomial
Cuándo una situación es binomial
Una variable aleatoria sigue una distribución binomial cuando el experimento que la genera cumple cuatro condiciones a la vez. Comprobarlas es lo primero que hay que hacer: si falla una sola, el modelo binomial no es válido.
Las cuatro condiciones del modelo binomial
- Número fijo de ensayos. El experimento consta de un número n de repeticiones decidido de antemano.
- Dos resultados por ensayo. Cada ensayo termina en uno de dos desenlaces excluyentes, llamados éxito y fracaso.
- Probabilidad constante. La probabilidad de éxito, p, es la misma en todos los ensayos (y por tanto la de fracaso es 1 − p, que se suele escribir q).
- Independencia. El resultado de un ensayo no afecta al de los demás.
Cuando se cumplen las cuatro, la variable X = «número de éxitos en los n ensayos» sigue una distribución binomial de parámetros n y p, y se escribe X ~ B(n, p). La variable puede tomar los valores 0, 1, 2, …, n.
El requisito que más se incumple en la práctica es la independencia con probabilidad constante. Lanzar una moneda 12 veces es binomial: cada lanzamiento es independiente y p = 0,5 siempre. En cambio, extraer 12 cartas de una baraja sin reposición no es binomial, porque al sacar una carta cambian las probabilidades de las siguientes: los ensayos dejan de ser independientes y p deja de ser constante. Si la extracción fuese con reposición, sí volvería a ser binomial.
Cálculo de probabilidades con tecnología
En el examen del IB no se calculan a mano las probabilidades binomiales: se obtienen con la calculadora gráfica. Las calculadoras admitidas (TI-84, TI-Nspire, Casio fx-CG) tienen dos funciones que conviene distinguir bien.
| Función | Qué devuelve | Cuándo se usa |
|---|---|---|
| Densidad binomial (binompdf) | P(X = r): la probabilidad de exactamente r éxitos. | Cuando la pregunta dice «exactamente», «justo» o un número concreto. |
| Acumulada binomial (binomcdf) | P(X ≤ r): la probabilidad de r éxitos o menos. | Cuando la pregunta dice «como mucho», «a lo sumo» o «no más de». |
La acumulada solo da directamente P(X ≤ r). Los demás casos se obtienen razonando con el suceso complementario o con la suma:
- P(X ≥ r) = 1 − P(X ≤ r − 1). «Al menos r» es lo contrario de «como mucho r − 1».
- P(X > r) = 1 − P(X ≤ r).
- P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).
Ejemplo 1 — probabilidad de un valor exacto. Una moneda equilibrada se lanza 10 veces. Sea X el número de caras. Calcula P(X = 4).
- Comprobar que es binomial: 10 lanzamientos fijos, dos resultados (cara/cruz), p = 0,5 constante, lanzamientos independientes. Sí lo es: X ~ B(10, 0,5).
- La pregunta pide «exactamente 4», así que se usa la densidad binomial con n = 10, p = 0,5, r = 4.
- La calculadora devuelve P(X = 4) = binompdf(10, 0,5, 4) ≈ 0,205 (3 cifras significativas).
- Lectura: hay aproximadamente un 20,5 % de probabilidad de obtener justo 4 caras en 10 lanzamientos.
Ejemplo 2 — «al menos» y suceso complementario. En un test de 12 preguntas de opción múltiple con 4 opciones cada una, un alumno responde al azar. Sea X el número de aciertos. Calcula la probabilidad de que acierte al menos 5.
- Probabilidad de acertar al azar una pregunta de 4 opciones: p = 1/4 = 0,25. El modelo es X ~ B(12, 0,25).
- «Al menos 5» significa P(X ≥ 5). Como la calculadora da acumuladas P(X ≤ r), se pasa al complementario: P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4).
- Calcular la acumulada: P(X ≤ 4) = binomcdf(12, 0,25, 4) ≈ 0,8424.
- Restar: P(X ≥ 5) = 1 − 0,8424 = 0,158 (3 cifras significativas).
- Lectura: responder al azar da solo un 15,8 % de probabilidad de acertar 5 o más de las 12; conviene estudiar.
Error frecuente
Equivocar el límite al pasar «al menos r» a una acumulada. P(X ≥ 5) no es 1 − P(X ≤ 5): eso dejaría fuera el propio valor 5. El razonamiento correcto es que lo contrario de «5 o más» es «4 o menos», luego P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4). La regla general: para «al menos r», resta uno y usa 1 − P(X ≤ r − 1). Escribe siempre el suceso complementario en palabras antes de tocar la calculadora.
Media y varianza de la binomial
Las fórmulas y su interpretación
Una de las grandes ventajas del modelo binomial es que su media y su varianza no exigen sumar la definición término a término: se obtienen con dos fórmulas directas.
Media y varianza de X ~ B(n, p)
Media: E(X) = np
Varianza: Var(X) = np(1 − p)
La desviación típica es la raíz de la varianza: σ = √(np(1 − p)). Estas fórmulas aparecen en el cuaderno de fórmulas del IB; no se pide su demostración formal, pero sí saber aplicarlas e interpretarlas.
La fórmula de la media es muy intuitiva. Si cada ensayo tiene probabilidad p de éxito y haces n ensayos, esperas alrededor de np éxitos. Es exactamente la idea de número esperado de ocurrencias que viste con las frecuencias esperadas (NM 4.5): el valor esperado de una binomial es n veces la probabilidad de un solo éxito. Por eso, si lanzas una moneda 100 veces, esperas 100·0,5 = 50 caras.
Ejemplo 3 — media y varianza directas. Una fábrica produce piezas y el 8 % salen defectuosas. Se toma una muestra de 50 piezas y X cuenta las defectuosas. Calcula la media, la varianza y la desviación típica de X.
- Identificar los parámetros: n = 50, p = 0,08. El modelo es X ~ B(50, 0,08).
- Media: E(X) = np = 50 · 0,08 = 4. Se esperan, de media, 4 piezas defectuosas por muestra de 50.
- Varianza: Var(X) = np(1 − p) = 50 · 0,08 · 0,92. Primero 50 · 0,08 = 4; luego 4 · 0,92 = 3,68.
- Desviación típica: σ = √3,68 ≈ 1,92 (3 cifras significativas).
Ejemplo 4 — combinar fórmulas y probabilidad. Un jugador de baloncesto encesta cada tiro libre con probabilidad 0,75. Lanza 20 tiros libres en un entrenamiento. Sea X el número de canastas. (a) ¿Cuántas canastas espera de media? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 16? (c) ¿Y de que enceste como mucho 14?
- El modelo es X ~ B(20, 0,75): 20 tiros fijos, encesta o falla, p = 0,75 constante, tiros independientes.
- (a) Media: E(X) = np = 20 · 0,75 = 15 canastas esperadas.
- (b) «Exactamente 16» se obtiene con la densidad: P(X = 16) = binompdf(20, 0,75, 16) ≈ 0,190 (3 cifras significativas).
- (c) «Como mucho 14» es directamente una acumulada: P(X ≤ 14) = binomcdf(20, 0,75, 14) ≈ 0,383 (3 cifras significativas).
- Lectura coherente: el valor más probable ronda la media (15), por eso P(X = 16) es bastante alta; y aunque encestar «14 o menos» queda por debajo de la media, su probabilidad sigue siendo notable (38,3 %) porque la distribución tiene dispersión.
Ante un problema de 4.8, sigue siempre el mismo guion. Primero, justifica el modelo: si te preguntan «¿por qué es binomial?», nombra las cuatro condiciones aplicadas al contexto (algunas preguntas valen marca solo por esto). Segundo, escribe X ~ B(n, p) con los valores concretos antes de calcular. Tercero, traduce las palabras clave: «exactamente» → densidad P(X = r); «como mucho / a lo sumo» → acumulada P(X ≤ r); «al menos» → 1 − P(X ≤ r − 1). Para media y varianza usa las fórmulas np y np(1 − p) del cuaderno de fórmulas: son inmediatas y no necesitan calculadora. Y redondea los resultados de probabilidad a 3 cifras significativas salvo que el enunciado pida otra cosa.