La trigonometría es el arte de pasar de ángulos a longitudes y viceversa. Empezó como una necesidad práctica —medir la altura de una pirámide sin escalarla, la distancia a un barco sin nadar hasta él— y hoy sostiene la topografía, la navegación, la astronomía y la animación por ordenador. El subtema NM 3.2 reúne las tres herramientas que resuelven cualquier triángulo: las razones trigonométricas para los triángulos rectángulos, y los teoremas del seno y del coseno para los que no lo son.
El hilo conductor es sencillo: un triángulo queda completamente determinado en cuanto conoces tres datos (con al menos un lado). Si el triángulo tiene un ángulo recto, las razones SOH-CAH-TOA bastan. Si no lo tiene, el teorema del seno y el del coseno se reparten el trabajo según qué datos te den. Aprender a elegir la herramienta correcta es la mitad de la batalla; la otra mitad es hacer un bosquejo rotulado que evite errores de identificación.
Trigonometría del triángulo rectángulo
Las razones: SOH-CAH-TOA
En un triángulo rectángulo, fijado uno de los ángulos agudos θ, los tres lados reciben un nombre relativo a él: la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto, el más largo), el cateto opuesto a θ y el cateto adyacente a θ. Las tres razones básicas son cocientes fijos de esos lados, que dependen solo del valor de θ, no del tamaño del triángulo.
Las tres razones trigonométricas
Para un ángulo agudo θ de un triángulo rectángulo:
- sen θ = opuesto / hipotenusa (SOH)
- cos θ = adyacente / hipotenusa (CAH)
- tan θ = opuesto / adyacente (TOA)
La regla mnemotécnica SOH-CAH-TOA condensa las tres. Para hallar un lado, eliges la razón que relacione el lado buscado con el dato conocido y despejas. Para hallar un ángulo, formas el cociente con los dos lados conocidos y aplicas la función inversa: θ = arcsin, arccos o arctan de ese valor.
Ejemplo 1 — hallar un lado. En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 35° y la hipotenusa mide 20 cm. Halla la longitud del cateto opuesto a ese ángulo.
- El lado buscado es el opuesto; el dato es la hipotenusa. La razón que los relaciona es el seno: sen 35° = opuesto / 20.
- Despejo el opuesto: opuesto = 20 · sen 35°.
- Con la calculadora en grados: sen 35° ≈ 0,5736, luego opuesto = 20 · 0,5736 ≈ 11,47.
- El cateto opuesto mide aproximadamente 11,5 cm.
Ejemplo 2 — hallar un ángulo con la función inversa. Un triángulo rectángulo tiene un cateto de 8 cm y la hipotenusa de 17 cm. Halla el ángulo agudo opuesto al cateto de 8 cm.
- Conozco el opuesto (8) y la hipotenusa (17): el cociente que los une es el seno. sen θ = 8/17 ≈ 0,4706.
- Aplico la función inversa: θ = arcsin(0,4706).
- Con la calculadora: θ ≈ 28,07°.
- El ángulo mide aproximadamente 28,1°.
Error frecuente
Tener la calculadora en radianes cuando el problema trabaja en grados (o al revés). Si resuelves el Ejemplo 1 con la calculadora en radianes obtienes 20 · sen 35 ≈ 20 · (−0,428) ≈ −8,6, un resultado absurdo —una longitud negativa— que debería saltarte a la vista. Antes de cada sesión de trigonometría comprueba el modo: la mayoría de problemas de triángulos del IB están en grados, y la pantalla de la calculadora muestra DEG o RAD para confirmarlo.
Cuándo usar cada teorema
Las razones SOH-CAH-TOA solo sirven si el triángulo tiene un ángulo recto. Para triángulos cualesquiera —los llamados oblicuángulos— hacen falta los teoremas del seno y del coseno. La elección entre uno y otro depende exclusivamente de qué combinación de datos te dan.
| Datos conocidos | Herramienta | Qué se obtiene |
|---|---|---|
| Dos ángulos y un lado (AAL) | Teorema del seno | Los lados que faltan |
| Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (LLA) | Teorema del seno | El otro ángulo opuesto |
| Dos lados y el ángulo comprendido (LAL) | Teorema del coseno | El tercer lado |
| Los tres lados (LLL) | Teorema del coseno | Cualquier ángulo |
Resolver triángulos cualesquiera
El teorema del seno
En cualquier triángulo, la longitud de cada lado es proporcional al seno del ángulo que tiene enfrente. La notación habitual usa minúsculas para los lados y la mayúscula correspondiente para el ángulo opuesto: el lado a se opone al ángulo A, y así sucesivamente.
Teorema del seno
a / sen A = b / sen B = c / sen C
Se usa de dos en dos: igualas las dos fracciones que contengan tu incógnita y un par lado-ángulo conocido, y despejas. Para hallar un ángulo conviene escribir el teorema invertido, sen A / a = sen B / b, de modo que la incógnita quede en el numerador.
Ejemplo 3 — teorema del seno. En un triángulo, el ángulo A = 50°, el ángulo B = 60° y el lado a = 12 cm. Halla la longitud del lado b.
- Conozco el par completo a–A y el ángulo B: aplico el teorema del seno con esas dos fracciones. a/sen A = b/sen B.
- Sustituyo: 12 / sen 50° = b / sen 60°.
- Despejo b: b = 12 · sen 60° / sen 50°.
- Calculo: sen 60° ≈ 0,8660 y sen 50° ≈ 0,7660, luego b = 12 · 0,8660 / 0,7660 ≈ 10,392 / 0,7660 ≈ 13,57.
- El lado b mide aproximadamente 13,6 cm.
El teorema del coseno y el área
El teorema del coseno es la generalización del teorema de Pitágoras a triángulos cualesquiera. Cuando el ángulo C es recto, cos C = 0 y la fórmula se reduce a c2 = a2 + b2, el viejo Pitágoras. El término −2ab·cos C es la corrección que tiene en cuenta cuánto se aparta el triángulo de tener un ángulo recto.
Teorema del coseno y área del triángulo
- Para hallar un lado: c2 = a2 + b2 − 2ab·cos C, donde C es el ángulo comprendido entre a y b.
- Para hallar un ángulo: cos C = (a2 + b2 − c2) / (2ab).
- Área del triángulo: Área = ½ · a · b · sen C, con C el ángulo comprendido entre los lados a y b.
La fórmula del área usa los dos lados que encierran el ángulo conocido. Es una alternativa potente a «base por altura entre dos» cuando no se conoce la altura pero sí dos lados y el ángulo entre ellos.
Ejemplo 4 — teorema del coseno y área. Un triángulo tiene lados a = 7 cm y b = 10 cm, con un ángulo comprendido C = 40°. Halla la longitud del tercer lado c y el área del triángulo.
- Tengo dos lados y el ángulo comprendido (LAL): uso el teorema del coseno. c2 = a2 + b2 − 2ab·cos C.
- Sustituyo: c2 = 72 + 102 − 2 · 7 · 10 · cos 40° = 49 + 100 − 140 · cos 40°.
- Con cos 40° ≈ 0,7660: c2 = 149 − 140 · 0,7660 = 149 − 107,25 = 41,75.
- c = √41,75 ≈ 6,46 cm.
- Área = ½ · a · b · sen C = ½ · 7 · 10 · sen 40° = 35 · 0,6428 ≈ 22,5 cm2.
Antes de tocar la calculadora, haz un bosquejo rotulado: dibuja el triángulo, marca los lados y ángulos conocidos y la incógnita. Ese dibujo te dice de un vistazo qué herramienta toca —si ves un par lado-ángulo opuesto, es el teorema del seno; si ves dos lados y el ángulo entre ellos, el del coseno—. Cuida la notación: la minúscula a es el lado opuesto al ángulo A; intercambiarlos invalida toda la cuenta. Y comprueba que la solución es razonable: el lado mayor se opone siempre al ángulo mayor, y la suma de los tres ángulos debe dar 180°.