3.3 Aplicaciones de la trigonometría

Los subtemas 3.1 y 3.2 te han dado las herramientas; el subtema NM 3.3 las pone a trabajar sobre problemas del mundo real. Aquí la dificultad rara vez está en la cuenta —es la misma trigonometría de triángulos rectángulos y oblicuángulos— sino en la traducción: convertir un enunciado escrito en un diagrama geométrico correcto. Un topógrafo que mide la altura de una montaña, un piloto que calcula su posición o un barco que fija su rumbo resuelven, en el fondo, triángulos.

Tres conceptos vertebran este subtema: el ángulo de elevación y el ángulo de depresión, que aparecen cuando se mira algo por encima o por debajo de la horizontal, y las demoras o rumbos, el sistema con el que se expresan direcciones en navegación y topografía. Dominar 3.3 es, sobre todo, dominar el hábito de hacer un buen diagrama rotulado antes de calcular nada.

Elevación, depresión y el triángulo escondido

Ángulos de elevación y de depresión

Cuando un observador mira un objeto, su línea de visión se aparta de la horizontal. Si el objeto está por encima, el ángulo entre la horizontal y la línea de visión es el ángulo de elevación; si está por debajo, es el ángulo de depresión. Ambos se miden siempre desde la horizontal, nunca desde la vertical: ese es el detalle que más se confunde.

Elevación, depresión y la igualdad alterna

El ángulo de elevación de B visto desde A es igual al ángulo de depresión de A visto desde B. La razón es geométrica: la horizontal en A y la horizontal en B son paralelas, y la línea de visión AB las corta; los dos ángulos son alternos internos, y por tanto iguales.

Esa igualdad es muy útil: cuando un problema te da el ángulo de depresión desde lo alto de una torre, puedes «trasladarlo» al pie del objeto como ángulo de elevación y resolver el triángulo rectángulo con esa esquina.

Ejemplo 1 — ángulo de elevación. Un observador situado a 50 m de la base de una torre, en terreno horizontal, mide un ángulo de elevación de 32° hacia la cima. Sus ojos están a 1,6 m del suelo. Halla la altura de la torre.

El triángulo rectángulo tiene como cateto horizontal la distancia a la torre (50 m), como cateto vertical la diferencia de alturas entre la cima y los ojos del observador, y el ángulo de 32° en la posición del observador.
La razón que une el cateto opuesto (vertical) con el adyacente (horizontal) es la tangente: tan 32° = vertical / 50.
Despejo: vertical = 50 · tan 32° ≈ 50 · 0,6249 ≈ 31,24 m.
Esa es la altura por encima del nivel de los ojos. La altura total de la torre es 31,24 + 1,6 ≈ 32,8 m.

Error frecuente

Olvidar la altura del observador. El triángulo rectángulo tiene su cateto vertical entre la línea de visión y la cima: mide la altura de la torre menos la altura de los ojos. Si el enunciado da esa altura (1,6 m en el ejemplo), hay que sumarla al final; ignorarla deja la respuesta corta por esa cantidad. Solo puedes saltarte el ajuste cuando el problema diga explícitamente que la medición se hace desde el suelo.

Ejemplo 2 — ángulo de depresión. Desde lo alto de un faro de 40 m, un vigía observa un barco con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia de la base del faro está el barco? El nivel del mar coincide con la base del faro.

Hago el diagrama: el faro vertical, la horizontal desde la cima, y la línea de visión bajando 12° hacia el barco.
Por la igualdad alterna, el ángulo de elevación del faro visto desde el barco también es 12°. El triángulo rectángulo tiene el cateto vertical de 40 m (el faro) y el cateto horizontal igual a la distancia buscada.
Desde la esquina del barco, la tangente del ángulo relaciona el opuesto (40 m) con el adyacente (distancia d): tan 12° = 40 / d.
Despejo: d = 40 / tan 12° ≈ 40 / 0,2126 ≈ 188 m.

💡 Comprueba el sentido del resultado: un ángulo de depresión pequeño significa que el barco está lejos —la línea de visión es casi horizontal—. Con 12°, sale 188 m; si el ángulo fuera 45°, la distancia igualaría la altura (40 m); con 80°, el barco estaría casi al pie del faro. Si tu resultado contradice esa intuición, revisa si has invertido el cociente de la tangente.

Demoras y problemas combinados

El sistema de demoras

En navegación y topografía las direcciones no se dan como «noreste» o «sur-sureste», demasiado imprecisas, sino como demoras: ángulos medidos en sentido horario desde el norte, expresados siempre con tres cifras. Así, 000° es el norte, 090° el este, 180° el sur y 270° el oeste; 045° es el noreste exacto y 117° una dirección entre el este y el sureste. La regla de las tres cifras evita ambigüedades: 075°, no 75°.

Dirección	Demora	Dirección	Demora
Norte	000°	Sur	180°
Noreste	045°	Suroeste	225°
Este	090°	Oeste	270°
Sureste	135°	Noroeste	315°

El trabajo geométrico de un problema de demoras consiste en convertir esas direcciones en los ángulos interiores del triángulo que forman las trayectorias. Para ello se dibuja una flecha de norte en cada vértice donde el móvil cambia de rumbo y se calcula el ángulo del triángulo a partir de las dos demoras que concurren ahí.

Ejemplo 3 — navegación con demoras. Un barco zarpa de un puerto P y navega 40 km con demora 060° hasta un punto Q. Allí cambia de rumbo y navega 30 km con demora 150° hasta un punto R. Halla la distancia directa de P a R.

Dibujo el norte en Q. El primer tramo llega a Q con demora 060°; el segundo sale con demora 150°. El giro de rumbo es 150° − 60° = 90°.
El ángulo interior del triángulo en Q es el suplementario del rumbo de llegada respecto al de salida: 180° − 90° = 90°. El triángulo PQR es rectángulo en Q.
Como el ángulo en Q es recto, aplico el teorema de Pitágoras: PR² = PQ² + QR² = 40² + 30² = 1600 + 900 = 2500.
PR = √2500 = 50 km. El barco está a 50 km en línea recta del puerto.

Ejemplo 4 — problema combinado con teorema del coseno. Dos pueblos, A y B, están a 9 km uno del otro. Un excursionista parte de A hacia un refugio C con demora 070°; el refugio C está, visto desde B, con demora 340°. Si el ángulo del triángulo en A vale 50° y en B vale 70°, halla la distancia de A al refugio C.

Los tres ángulos del triángulo suman 180°, así que el ángulo en C es 180° − 50° − 70° = 60°.
Conozco el lado AB = 9 km, opuesto al ángulo C = 60°, y quiero el lado AC, opuesto al ángulo B = 70°. Tengo el par completo lado-ángulo opuesto AB–C: uso el teorema del seno.
Planteo: AC / sen B = AB / sen C, es decir, AC / sen 70° = 9 / sen 60°.
Despejo: AC = 9 · sen 70° / sen 60° = 9 · 0,9397 / 0,8660 ≈ 8,457 / 0,8660 ≈ 9,77.
El refugio C está a aproximadamente 9,77 km de A.

💡 Las demoras son el envoltorio, no el problema: en el Ejemplo 4 los rumbos 070° y 340° sirven solo para fijar la forma del triángulo. Una vez que tienes los ángulos interiores (50°, 70° y 60°), el resto es teorema del seno puro. Tu primera tarea siempre es convertir las demoras en ángulos del triángulo; a partir de ahí el problema es de 3.2.

Para el examen

El diagrama lo es todo en 3.3. Dedica el primer minuto a dibujarlo bien: figura grande, lados y ángulos rotulados con los datos del enunciado, la incógnita marcada y una flecha de norte en cada vértice si hay demoras. Recuerda que las demoras se miden desde el norte y en sentido horario, con tres cifras. Distingue elevación (mirar hacia arriba) de depresión (mirar hacia abajo), ambas medidas desde la horizontal. Y antes de escribir la respuesta final, contrasta el resultado con el sentido común: una distancia o una altura han de ser positivas y de un orden de magnitud razonable para el contexto descrito.