Hasta ahora has medido los ángulos en grados, una convención heredada de los astrónomos babilonios que dividieron la vuelta en 360 partes. Funciona, pero el 360 es arbitrario: no sale de ninguna propiedad de la circunferencia, sino de un calendario antiguo. El radián resuelve ese problema. Es una unidad que nace de la propia geometría del círculo y que, por eso mismo, vuelve transparentes las fórmulas de la longitud de arco, del área del sector y, más adelante, de las derivadas trigonométricas.
El subtema NM 3.4 es la puerta de entrada a todo el bloque de trigonometría circular. Sin radianes, las fórmulas s = rθ y A = ½r²θ exigirían factores de conversión incómodos; con radianes son limpias. Y cuando en el Tema 5 aparezca la derivada de sen x, descubrirás que el resultado elegante (la derivada del seno es el coseno) solo es cierto si x está en radianes. Aprende a moverte en esta unidad desde el primer día.
El radián: una unidad nacida del círculo
Definición geométrica del radián
Imagina una circunferencia de radio r. Toma un ángulo central y mide la longitud del arco que abarca. Si ese arco mide exactamente r, el ángulo mide un radián. La definición es puramente geométrica: el radián compara el arco con el radio, dos longitudes de la misma figura, y por eso no depende de ninguna convención externa.
Definición de radián
Un radián es la medida del ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.
Como la circunferencia completa tiene longitud 2πr, una vuelta entera abarca un arco de 2π veces el radio, así que mide 2π radianes. De ahí sale la equivalencia que usarás constantemente:
360° = 2π rad ⇔ 180° = π rad
Conviene fijar una idea importante: el radián es, en el fondo, un cociente de dos longitudes (arco entre radio), así que es adimensional. Por eso, cuando un ángulo viene dado por un número sin unidad —como θ = 2 o θ = π/6— se entiende automáticamente que está en radianes. Si está en grados, el símbolo ° es obligatorio.
Conversión entre grados y radianes
Toda conversión sale de la equivalencia 180° = π rad. Para pasar de grados a radianes se multiplica por π/180; para pasar de radianes a grados se multiplica por 180/π.
| Sentido | Operación | Ejemplo |
|---|---|---|
| Grados → radianes | multiplicar por π/180 | 60° = 60 · π/180 = π/3 rad |
| Radianes → grados | multiplicar por 180/π | 3π/4 rad = 3π/4 · 180/π = 135° |
El IB acepta la medida en radianes de dos formas, y conviene dominar las dos. La medida exacta deja el resultado como múltiplo racional de π: π/6, 5π/4, 7π/3. La medida decimal sustituye π por su valor numérico: π/6 ≈ 0,524. Cuando una pregunta pide la respuesta exacta, deja el π; cuando pide un valor aproximado o el contexto es de la vida real, redondea según lo indicado (normalmente tres cifras significativas).
Ejemplo 1 — convertir en los dos sentidos. Expresa 210° en radianes (forma exacta) y 5π/6 rad en grados.
- De grados a radianes: 210° = 210 · π/180 rad.
- Simplifica la fracción 210/180. El máximo común divisor de 210 y 180 es 30: 210/180 = 7/6.
- Por tanto 210° = 7π/6 rad.
- De radianes a grados: 5π/6 rad = (5π/6) · (180/π) = 5 · 180/6 = 5 · 30 = 150°.
Longitud de arco y área de sector
La razón profunda por la que el radián simplifica la trigonometría aparece justo aquí. Las dos fórmulas centrales de este subtema —la longitud del arco y el área del sector— se escriben sin un solo factor de conversión siempre que el ángulo esté en radianes. Esa es la recompensa de haber definido la unidad a partir del propio círculo.
Longitud de arco: s = rθ
Una vuelta completa (2π rad) abarca toda la circunferencia, de longitud 2πr. Como la longitud del arco es proporcional al ángulo, un ángulo θ abarca la fracción θ/(2π) de la circunferencia:
s = (θ / 2π) · 2πr = rθ
Longitud de un arco circular
En una circunferencia de radio r, el arco abarcado por un ángulo central θ medido en radianes tiene longitud:
s = rθ
La fórmula solo es válida con θ en radianes. Si el ángulo viene en grados, conviértelo antes.
Ejemplo 2 — longitud de arco con ángulo en grados. Una circunferencia tiene radio 12 cm. Calcula la longitud del arco abarcado por un ángulo central de 75°.
- El ángulo está en grados; conviértelo a radianes: θ = 75 · π/180 = 5π/12 rad (simplificando 75/180 dividiendo entre 15).
- Aplica s = rθ: s = 12 · 5π/12 = 5π cm.
- El 12 del radio se cancela con el 12 del denominador: s = 5π cm.
- Valor decimal: 5π ≈ 5 · 3,14159 ≈ 15,7 cm (3 cifras significativas).
Área de un sector circular: A = ½r²θ
El mismo argumento de proporcionalidad funciona con el área. El círculo completo tiene área πr² y corresponde a 2π rad. Un sector de ángulo θ ocupa la fracción θ/(2π) del círculo:
A = (θ / 2π) · πr² = ½r²θ
Área de un sector circular
En una circunferencia de radio r, el sector limitado por un ángulo central θ en radianes tiene área:
A = ½r²θ
De nuevo, θ debe estar en radianes. Observa la coherencia interna: como s = rθ, también puedes escribir A = ½r·(rθ) = ½r·s, igual que el área de un triángulo es ½·base·altura.
Ejemplo 3 — área de un sector. Un sector circular tiene radio 8 cm y ángulo central 2,1 rad. Calcula su área y la longitud de su arco.
- El ángulo ya está en radianes (2,1 es un número sin unidad), así que no hay que convertir.
- Área: A = ½ · r² · θ = ½ · 8² · 2,1 = ½ · 64 · 2,1.
- Calcula: ½ · 64 = 32; luego 32 · 2,1 = 67,2. Así que A = 67,2 cm².
- Arco: s = rθ = 8 · 2,1 = 16,8 cm.
Ejemplo 4 — problema inverso: hallar el radio. Un sector circular tiene área 45 cm² y ángulo central π/5 rad. Determina el radio y el perímetro completo del sector.
- De A = ½r²θ despeja r²: r² = 2A/θ = 2 · 45 / (π/5) = 90 · (5/π) = 450/π.
- Numéricamente: 450/π ≈ 450/3,14159 ≈ 143,239. Entonces r = √143,239 ≈ 11,97 cm.
- El arco mide s = rθ ≈ 11,97 · (π/5) ≈ 11,97 · 0,6283 ≈ 7,52 cm.
- El perímetro del sector son los dos radios más el arco: P = 2r + s ≈ 2 · 11,97 + 7,52 ≈ 31,5 cm.
Error frecuente
Aplicar s = rθ o A = ½r²θ con el ángulo todavía en grados. Si haces s = 12 · 75 obtienes 900, un número absurdo: el arco no puede ser más largo que toda la circunferencia (2π·12 ≈ 75,4 cm). Las dos fórmulas exigen radianes. Antes de sustituir, comprueba siempre la unidad del ángulo; si ves el símbolo °, conviértelo. Un buen reflejo de control: el arco siempre debe salir menor que 2πr, y el sector menor que πr².
En la Prueba 1 (sin calculadora) las preguntas de 3.4 piden casi siempre la respuesta en forma exacta: deja el π sin desarrollar y simplifica las fracciones. En la Prueba 2 (con calculadora) suele pedirse el valor decimal a 3 cifras significativas, y conviene tener la calculadora en modo radianes (RAD, no DEG) durante todo el bloque de trigonometría. Tres ideas que rinden marcas: (i) si te dan dos de las tres cantidades s, r, θ, despeja la tercera; (ii) el perímetro de un sector es 2r + s, no s solo; (iii) el área de un segmento circular se obtiene restando al sector el triángulo de los dos radios —enlaza con la fórmula ½ab sen C del subtema de triángulos.