En la trigonometría del triángulo rectángulo, el seno y el coseno solo tenían sentido para ángulos agudos: eran cocientes de lados, y un triángulo no admite ángulos mayores de 90°. Pero el seno de 150° o el coseno de 4 radianes también aparecen en física, en el modelado de mareas y en las ecuaciones del Tema 3. Para darles significado se necesita una definición nueva, más general, y esa definición vive en el círculo unidad.
El subtema NM 3.5 es uno de los más rentables de toda la asignatura: una sola figura —la circunferencia de radio 1— extiende seno y coseno a cualquier ángulo, explica de un vistazo sus signos, conecta la tangente con la pendiente de una recta y te da los valores exactos que aparecen una y otra vez en los exámenes sin calculadora. Vale la pena entenderla a fondo.
El círculo unidad como definición de seno y coseno
La definición y los signos por cuadrante
El círculo unidad es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen, de ecuación x² + y² = 1. Para definir el seno y el coseno de un ángulo θ se coloca el ángulo en posición estándar: con el vértice en el origen y el lado inicial sobre el eje x positivo. El lado terminal corta al círculo en un punto P.
Definición en el círculo unidad
Si el lado terminal de un ángulo θ en posición estándar corta al círculo unidad en el punto P, entonces:
cos θ = abscisa de P sen θ = ordenada de P
Es decir, P = (cos θ, sen θ). Como P está siempre sobre el círculo, sus coordenadas cumplen x² + y² = 1, lo que da la identidad fundamental cos²θ + sen²θ = 1 (la estudiarás a fondo en 3.6).
El ángulo θ puede medir cualquier valor: si supera 2π da más de una vuelta; si es negativo se recorre en sentido horario. La definición no se rompe. Y los signos del seno y el coseno quedan determinados por el cuadrante donde cae P, porque dependen de los signos de la abscisa y la ordenada.
| Cuadrante | Intervalo de θ | cos θ | sen θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| I | 0 a π/2 | + | + | + |
| II | π/2 a π | − | + | − |
| III | π a 3π/2 | − | − | + |
| IV | 3π/2 a 2π | + | − | − |
Ángulos relacionados: simetrías del círculo
La gran utilidad del círculo unidad es que las simetrías de la figura se traducen en igualdades entre razones trigonométricas. No hace falta memorizarlas todas: basta dibujar el círculo y leer las coordenadas.
- Ángulo opuesto: −θ es la reflexión de θ respecto al eje x. La abscisa no cambia, la ordenada cambia de signo, así que cos(−θ) = cos θ (el coseno es una función par) y sen(−θ) = −sen θ (el seno es impar).
- Ángulo suplementario: π − θ es la reflexión respecto al eje y. Entonces sen(π − θ) = sen θ y cos(π − θ) = −cos θ.
- Media vuelta: π + θ es la simetría respecto al origen. Ambas coordenadas cambian de signo: sen(π + θ) = −sen θ y cos(π + θ) = −cos θ.
Ejemplo 1 — simplificar usando ángulos relacionados. Demuestra que tan(3π − x) = −tan x.
- Como la tangente tiene periodo π, restar 2π no la altera: tan(3π − x) = tan(3π − x − 2π) = tan(π − x).
- Usa las relaciones del ángulo suplementario: sen(π − x) = sen x y cos(π − x) = −cos x.
- Por definición, tan(π − x) = sen(π − x) / cos(π − x) = sen x / (−cos x) = −(sen x / cos x).
- Por tanto tan(3π − x) = −tan x.
Tangente, valores exactos y caso ambiguo
La tangente y la pendiente de una recta
La tercera razón se define a partir de las dos primeras: tan θ = sen θ / cos θ, definida siempre que cos θ ≠ 0. Esta definición tiene una lectura geométrica muy potente. Considera la recta que pasa por el origen y forma un ángulo θ con el eje x positivo. El punto del círculo unidad sobre ella es (cos θ, sen θ), así que la pendiente de la recta es ordenada entre abscisa: sen θ / cos θ = tan θ.
Recta por el origen
La recta que pasa por el origen y forma un ángulo θ con la dirección positiva del eje x tiene ecuación:
y = x · tan θ
Es decir, la pendiente de una recta no es otra cosa que la tangente de su ángulo de inclinación. Esto enlaza la trigonometría con la geometría analítica del Tema 2.
Valores exactos de los ángulos especiales
Hay cinco ángulos del primer cuadrante cuyas razones se conocen exactamente, sin calculadora. Salen de dos triángulos elementales: el rectángulo isósceles (45°-45°-90°) para π/4, y la mitad del triángulo equilátero (30°-60°-90°) para π/6 y π/3. Los ángulos 0 y π/2 se leen directamente en los ejes del círculo unidad.
| θ (rad) | θ (grados) | sen θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0° | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 = √3/3 |
| π/4 | 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 90° | 1 | 0 | no definida |
Con esta tabla y los signos por cuadrante obtienes el valor exacto de cualquier múltiplo de esos ángulos. La técnica es: localiza el cuadrante (para el signo) y el ángulo de referencia (el agudo que forma el lado terminal con el eje x).
Ejemplo 2 — valor exacto en otro cuadrante. Calcula sen(5π/6) y cos(5π/6) sin calculadora.
- 5π/6 está entre π/2 y π, así que cae en el cuadrante II: el seno es positivo y el coseno negativo.
- El ángulo de referencia es π − 5π/6 = π/6.
- sen(5π/6) = +sen(π/6) = 1/2.
- cos(5π/6) = −cos(π/6) = −√3/2.
Ejemplo 3 — recta por el origen. Una recta pasa por el origen y forma un ángulo de 2π/3 con el eje x positivo. Halla su ecuación y comprueba que el punto (−2, 2√3) pertenece a ella.
- Pendiente: m = tan(2π/3). El ángulo 2π/3 está en el cuadrante II (tangente negativa); ángulo de referencia π − 2π/3 = π/3.
- tan(2π/3) = −tan(π/3) = −√3. La recta es y = −√3 · x.
- Comprobación: sustituye x = −2. Entonces y = −√3 · (−2) = 2√3, que coincide con la ordenada dada.
- El punto (−2, 2√3) está sobre la recta y = −√3 x.
El teorema del seno y el caso ambiguo
En el subtema de triángulos viste el teorema del seno: a/sen A = b/sen B = c/sen C. Sirve para resolver un triángulo cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos. Pero este segundo caso esconde una trampa que el círculo unidad explica perfectamente: el caso ambiguo.
Cuando despejas un ángulo de la forma sen B = (valor), la calculadora te da un ángulo agudo. Pero sen(π − B) = sen B: el ángulo obtuso suplementario tiene el mismo seno. Si ese ángulo obtuso, sumado al ángulo conocido, sigue siendo menor de π radianes (180°), entonces existe un segundo triángulo válido.
Ejemplo 4 — el caso ambiguo en acción. En un triángulo, a = 9, b = 7 y el ángulo B = π/6. Determina los posibles valores del ángulo A.
- Teorema del seno: sen A / a = sen B / b, así que sen A = a · sen B / b.
- Sustituye: sen A = 9 · sen(π/6) / 7 = 9 · (1/2) / 7 = 4,5 / 7 ≈ 0,6429.
- Primer valor (agudo): A₁ = arcsen(0,6429) ≈ 0,6982 rad ≈ 40,0°.
- Segundo valor (obtuso): A₂ = π − 0,6982 ≈ 2,443 rad ≈ 140,0°.
- Comprueba ambos: con A₁ ≈ 40,0°, los tres ángulos suman 40,0° + 30° + C = 180°, así que C ≈ 110,0° > 0: válido. Con A₂ ≈ 140,0°, sería 140,0° + 30° = 170° < 180°, dejando C ≈ 10,0° > 0: también válido.
- Los datos admiten dos triángulos: A ≈ 0,698 rad (40,0°) o A ≈ 2,44 rad (140,0°).
Error frecuente
Quedarse solo con el ángulo que da la calculadora al aplicar el teorema del seno. La función arcsen del teclado devuelve siempre el valor agudo, pero un seno positivo corresponde a dos ángulos en el rango 0 a π: el agudo y su suplementario. Si la pregunta del IB dice «encuentra todos los valores posibles» o describe un triángulo sin figura, comprueba siempre si el ángulo obtuso suplementario también encaja (basta verificar que la suma de ángulos conocidos siga siendo menor de 180°). Si el segundo triángulo es geométricamente imposible, descártalo, pero hazlo de forma explícita.
En la Prueba 1 los valores exactos son oro: una pregunta que pida sen(7π/6) o tan(5π/4) se resuelve en segundos si dominas la tabla y los signos por cuadrante, y se vuelve imposible sin ellos. Tres consejos: (i) dibuja siempre el círculo unidad en sucio —localizar el cuadrante evita errores de signo; (ii) para los ángulos relacionados, no memorices fórmulas sueltas, deduce cada igualdad de la figura; (iii) en problemas de triángulos sin dibujo, sospecha del caso ambiguo siempre que apliques el teorema del seno para hallar un ángulo y los datos sean «dos lados y un ángulo no comprendido».