Una identidad trigonométrica es una igualdad que se cumple siempre, para cualquier valor del ángulo. No es una ecuación que haya que resolver, sino una herramienta: permite reescribir una expresión complicada en otra equivalente más manejable. En el Tema 3 las identidades son el puente entre las definiciones del círculo unidad y la resolución de ecuaciones trigonométricas del subtema 3.8.
El subtema NM 3.6 se apoya en dos pilares. El primero es la identidad pitagórica, cos²θ + sen²θ = 1, que enlaza seno y coseno y permite eliminar uno en favor del otro. El segundo son las fórmulas del ángulo doble, que expresan sen 2θ y cos 2θ a partir de θ. Juntas, estas identidades te permiten resolver problemas del tipo «conozco una razón, dame las otras» sin tener que calcular el ángulo en ningún momento.
La identidad pitagórica
De dónde sale: el círculo unidad
La identidad fundamental no es un truco que haya que memorizar a ciegas: sale directamente de la definición de seno y coseno. Recuerda que en el círculo unidad el punto asociado a un ángulo θ es P = (cos θ, sen θ), y que todos los puntos del círculo cumplen la ecuación x² + y² = 1. Sustituyendo las coordenadas de P en esa ecuación se obtiene la identidad de inmediato.
Identidad pitagórica fundamental
Para cualquier ángulo θ se cumple:
cos²θ + sen²θ = 1
La notación cos²θ significa (cos θ)², el cuadrado del coseno; no es el coseno de θ². De esta identidad se despejan las dos formas que más usarás: sen²θ = 1 − cos²θ y cos²θ = 1 − sen²θ.
La identidad tiene una interpretación geométrica transparente: el punto P está a distancia 1 del origen, y cos θ y sen θ son los catetos del triángulo rectángulo de hipotenusa 1. La identidad pitagórica es, literalmente, el teorema de Pitágoras en ese triángulo.
Usar la identidad para pasar de una razón a otra
El uso más común de la identidad pitagórica es este: si conoces una razón trigonométrica de un ángulo, puedes hallar las otras dos sin calcular el ángulo. El único cuidado está en el signo: al despejar de un cuadrado aparece una raíz, y el signo correcto lo decide el cuadrante.
Ejemplo 1 — de seno a tangente, con dos casos. Se sabe que sen θ = 5/13. Halla los posibles valores de tan θ.
- Despeja el coseno de la identidad: cos²θ = 1 − sen²θ = 1 − (5/13)² = 1 − 25/169 = 144/169.
- Por tanto cos θ = ±√(144/169) = ±12/13. El signo depende del cuadrante: el enunciado no lo fija, así que hay dos casos.
- Caso cos θ = 12/13 (ángulo del cuadrante I): tan θ = sen θ / cos θ = (5/13) / (12/13) = 5/12.
- Caso cos θ = −12/13 (ángulo del cuadrante II): tan θ = (5/13) / (−12/13) = −5/12.
- Los posibles valores son tan θ = 5/12 o tan θ = −5/12.
Ejemplo 2 — un solo caso al fijar el cuadrante. Si cos θ = −3/5 y θ está en el tercer cuadrante, calcula sen θ y tan θ.
- De la identidad: sen²θ = 1 − cos²θ = 1 − (−3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25.
- Entonces sen θ = ±4/5. En el tercer cuadrante el seno es negativo, así que sen θ = −4/5.
- tan θ = sen θ / cos θ = (−4/5) / (−3/5) = 4/3. (En el tercer cuadrante la tangente es positiva: coherente.)
- Resultado: sen θ = −4/5 y tan θ = 4/3.
Las fórmulas del ángulo doble
El segundo bloque del subtema responde a una pregunta natural: si conozco las razones de θ, ¿puedo obtener las de 2θ? La respuesta es sí, mediante las fórmulas del ángulo doble. Son indispensables para simplificar expresiones y para resolver ecuaciones en las que aparecen mezclados un ángulo y su doble.
Seno del ángulo doble
Seno del ángulo doble
Para cualquier ángulo θ:
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
Conviene fijar bien lo que dice la fórmula: el seno del ángulo doble no es el doble del seno. sen 2θ ≠ 2 sen θ. Una comprobación rápida con θ = π/2: el lado izquierdo es sen π = 0; el lado correcto da 2 · sen(π/2) · cos(π/2) = 2 · 1 · 0 = 0, coherente; pero 2 sen(π/2) = 2, que es falso. La fórmula correcta mezcla seno y coseno.
Coseno del ángulo doble: tres formas
El coseno del ángulo doble admite tres expresiones equivalentes. La primera es la básica; las otras dos se obtienen sustituyendo en ella la identidad pitagórica, y resultan muy útiles porque dejan la fórmula en función de una sola razón.
Coseno del ángulo doble
Para cualquier ángulo θ, las tres expresiones siguientes son equivalentes:
cos 2θ = cos²θ − sen²θ = 1 − 2 sen²θ = 2 cos²θ − 1
Elige la versión que más convenga: si en el problema aparece el seno, usa 1 − 2 sen²θ; si aparece el coseno, usa 2 cos²θ − 1.
El paso de la primera forma a las otras dos es sencillo. Partiendo de cos 2θ = cos²θ − sen²θ y usando cos²θ = 1 − sen²θ, se obtiene cos 2θ = (1 − sen²θ) − sen²θ = 1 − 2 sen²θ. Análogamente, usando sen²θ = 1 − cos²θ, se llega a cos 2θ = cos²θ − (1 − cos²θ) = 2 cos²θ − 1.
| Identidad | Fórmula | Cuándo usarla |
|---|---|---|
| Seno doble | sen 2θ = 2 sen θ cos θ | Para expandir o factorizar un seno de ángulo doble. |
| Coseno doble (básica) | cos 2θ = cos²θ − sen²θ | Cuando se conocen seno y coseno a la vez. |
| Coseno doble (en seno) | cos 2θ = 1 − 2 sen²θ | Ecuaciones donde solo interviene el seno. |
| Coseno doble (en coseno) | cos 2θ = 2 cos²θ − 1 | Ecuaciones donde solo interviene el coseno. |
Aplicar las fórmulas sin hallar el ángulo
Ejemplo 3 — seno del doble a partir del coseno. Sabiendo que cos x = 3/4 y que x es un ángulo agudo, calcula sen 2x.
- Para usar sen 2x = 2 sen x cos x necesitas sen x. Halla el seno con la identidad pitagórica: sen²x = 1 − cos²x = 1 − (3/4)² = 1 − 9/16 = 7/16.
- Entonces sen x = ±√(7/16) = ±√7/4. Como x es agudo (cuadrante I), el seno es positivo: sen x = √7/4.
- Aplica la fórmula del seno doble: sen 2x = 2 · sen x · cos x = 2 · (√7/4) · (3/4).
- Multiplica: 2 · √7 · 3 / (4 · 4) = 6√7 / 16 = 3√7/8.
- Valor decimal de control: √7 ≈ 2,6458, así que 3√7/8 ≈ 7,937/8 ≈ 0,992. Es menor que 1, como debe ser todo seno.
Ejemplo 4 — coseno del doble eligiendo la forma adecuada. Si sen θ = −2/3 y θ está en el cuarto cuadrante, calcula cos 2θ y sen 2θ.
- Para cos 2θ conviene la forma que solo usa el seno: cos 2θ = 1 − 2 sen²θ. Sustituye: cos 2θ = 1 − 2 · (−2/3)² = 1 − 2 · 4/9 = 1 − 8/9 = 1/9.
- Para sen 2θ necesitas el coseno de θ. De la identidad pitagórica: cos²θ = 1 − sen²θ = 1 − 4/9 = 5/9, luego cos θ = ±√5/3.
- En el cuarto cuadrante el coseno es positivo, así que cos θ = √5/3.
- sen 2θ = 2 sen θ cos θ = 2 · (−2/3) · (√5/3) = −4√5/9.
- Resultados: cos 2θ = 1/9 y sen 2θ = −4√5/9. Comprobación: (1/9)² + (−4√5/9)² = 1/81 + 80/81 = 81/81 = 1, así que el par (cos 2θ, sen 2θ) cae sobre el círculo unidad, como debe.
Error frecuente
Tratar las razones trigonométricas como si fueran lineales. sen 2θ no es 2 sen θ, ni cos 2θ es 2 cos θ, ni sen(A + B) es sen A + sen B. El argumento de seno o coseno no «se reparte». Otro fallo recurrente: olvidar el ± al despejar de un cuadrado. Cuando de sen²θ = 16/25 escribes sen θ = 4/5 sin más, estás perdiendo la mitad de las soluciones; el signo solo se fija si el problema indica el cuadrante o el carácter agudo del ángulo. Decide el signo de forma explícita y justifícalo.
Las identidades de 3.6 figuran en el cuadernillo de fórmulas del IB, así que no hace falta memorizarlas al pie de la letra, pero sí saber cuál usar y cuándo. Tres reflejos: (i) en una ecuación donde aparezca cos 2θ junto a sen θ, sustituye cos 2θ por 1 − 2 sen²θ para dejar todo en una sola razón —es la jugada estándar del subtema 3.8; (ii) al despejar una razón de la identidad pitagórica, escribe siempre el ± y resuelve el signo con el cuadrante; (iii) usa la identidad cos²θ + sen²θ = 1 como test de control: si tus valores de seno y coseno no la cumplen, hay un error.