El seno y el coseno son las primeras funciones periódicas que estudias: en lugar de crecer o decrecer sin freno, oscilan repitiendo su comportamiento una y otra vez. Esa propiedad las convierte en la herramienta natural para modelar todo lo que en la naturaleza se repite con regularidad: la altura de la marea a lo largo del día, la posición de una cabina en una noria, la corriente alterna, el sonido de una nota musical.
El subtema NM 3.7 tiene dos objetivos. Primero, conocer las gráficas básicas de sen x, cos x y tan x: su forma, su periodo, sus valores extremos. Segundo, entender cómo los cuatro parámetros de la función general f(x) = a sen(b(x + c)) + d estiran, comprimen y desplazan esa gráfica básica. Es la aplicación directa de las transformaciones de funciones que viste en NM 2.11.
Las gráficas básicas y sus propiedades
Las gráficas de sen x y cos x
Las gráficas del seno y del coseno se construyen leyendo la ordenada (sen) o la abscisa (cos) del punto del círculo unidad a medida que el ángulo recorre una vuelta completa. El resultado es la misma curva ondulada para las dos, desplazada un cuarto de vuelta.
| Propiedad | y = sen x | y = cos x |
|---|---|---|
| Dominio | todos los reales | todos los reales |
| Recorrido | de −1 a 1 | de −1 a 1 |
| Periodo | 2π | 2π |
| Amplitud | 1 | 1 |
| Valor en x = 0 | 0 | 1 |
| Simetría | impar: sen(−x) = −sen x | par: cos(−x) = cos x |
Ambas curvas oscilan entre −1 y 1 y completan un ciclo cada 2π radianes. La diferencia es la fase: la gráfica del coseno es la del seno adelantada π/2. De hecho, cos x = sen(x + π/2), una relación que conviene tener presente.
La gráfica de tan x
La tangente se comporta de forma muy distinta. Como tan x = sen x / cos x, allí donde cos x = 0 la función no está definida y la gráfica presenta una asíntota vertical. Eso ocurre en x = π/2, 3π/2, 5π/2... es decir, en π/2 más cualquier múltiplo de π.
Características de y = tan x
- Periodo π (la mitad que el seno y el coseno): la gráfica se repite cada π radianes.
- Recorrido: todos los números reales; la tangente no tiene máximo ni mínimo, así que no tiene amplitud.
- Asíntotas verticales en x = π/2 + kπ, con k entero.
- Es una función impar: tan(−x) = −tan x, y pasa por el origen.
La función sinusoidal general y sus aplicaciones
Casi ningún fenómeno real oscila exactamente entre −1 y 1 con periodo 2π. Las mareas suben varios metros, una noria tarda minutos en dar la vuelta y nunca baja de cero. Para modelar esas situaciones se usa la función sinusoidal general, que transforma la curva básica con cuatro parámetros.
El significado de los cuatro parámetros
Función sinusoidal general
La familia de funciones de la forma:
f(x) = a sen(b(x + c)) + d
tiene cuatro parámetros con un significado geométrico claro:
- a — la amplitud es |a|: media distancia entre el máximo y el mínimo. Estira la curva verticalmente.
- b — controla el periodo, que vale 2π/|b|. Cuanto mayor es b, más comprimida está la onda.
- c — produce el desplazamiento horizontal (o de fase): la gráfica se mueve c unidades hacia la izquierda.
- d — produce el desplazamiento vertical: sube la línea media a y = d.
De estos parámetros se deducen directamente las propiedades de la gráfica. El máximo vale d + |a| y el mínimo vale d − |a|; la línea media es y = d. Eso da dos relaciones muy útiles para el camino inverso: a = (máximo − mínimo)/2 y d = (máximo + mínimo)/2.
Ejemplo 1 — leer la gráfica a partir de la fórmula. Para f(x) = 3 sen(2x) − 1, determina amplitud, periodo, línea media, máximo y mínimo.
- Identifica los parámetros: a = 3, b = 2, c = 0, d = −1.
- Amplitud: |a| = 3.
- Periodo: 2π/|b| = 2π/2 = π.
- Línea media: y = d = −1.
- Máximo: d + |a| = −1 + 3 = 2. Mínimo: d − |a| = −1 − 3 = −4.
Ejemplo 2 — el camino inverso: hallar la fórmula. Una sinusoide de tipo coseno tiene máximo 11, mínimo 3, y alcanza su primer máximo en x = 0. Halla una fórmula de la forma g(x) = a cos(bx) + d sabiendo que su periodo es 6.
- Amplitud: a = (máximo − mínimo)/2 = (11 − 3)/2 = 8/2 = 4.
- Línea media: d = (máximo + mínimo)/2 = (11 + 3)/2 = 14/2 = 7.
- Periodo: de 2π/b = 6 se despeja b = 2π/6 = π/3.
- Como el coseno ya tiene su máximo en x = 0, no hace falta desplazamiento horizontal. La fórmula es g(x) = 4 cos(πx/3) + 7.
- Comprobación: en x = 0, g(0) = 4 · cos 0 + 7 = 4 · 1 + 7 = 11, el máximo. Correcto.
Modelos de la vida real
La función sinusoidal general es la base de los modelos periódicos que aparecen en el examen del IB. Dos contextos clásicos: la altura de la marea a lo largo del día y la altura de una cabina en una noria que gira.
Ejemplo 3 — la altura de la marea. En un puerto, la profundidad del agua H (en metros) t horas después de medianoche se modela con H(t) = 6 + 4 sen(πt/6). Halla el periodo, la profundidad máxima y mínima, y la profundidad a las 3:00.
- Parámetros: amplitud a = 4, b = π/6, línea media d = 6.
- Periodo: 2π / (π/6) = 2π · 6/π = 12 horas. La marea completa un ciclo cada 12 horas, coherente con la realidad.
- Máximo: 6 + 4 = 10 m. Mínimo: 6 − 4 = 2 m.
- A las 3:00, t = 3: H(3) = 6 + 4 sen(π · 3/6) = 6 + 4 sen(π/2) = 6 + 4 · 1 = 10 m (es justo la pleamar).
Ejemplo 4 — la noria. Una noria de 40 m de diámetro tiene su punto más bajo a 2 m del suelo y completa una vuelta cada 8 minutos. Una cabina arranca en el punto más bajo. Modela su altura h (en metros) en función del tiempo t (en minutos).
- Radio = diámetro/2 = 20 m, así que la amplitud es a = 20.
- El centro de la noria está a 2 + 20 = 22 m del suelo: esa es la línea media, d = 22.
- Periodo 8 minutos: 2π/b = 8, luego b = π/4.
- La cabina arranca en el mínimo en t = 0. Una función que vale su mínimo en el origen es −cos: usamos h(t) = −20 cos(πt/4) + 22.
- Comprobación: h(0) = −20 · cos 0 + 22 = −20 + 22 = 2 m (punto más bajo). A los 4 minutos (media vuelta): h(4) = −20 · cos π + 22 = −20 · (−1) + 22 = 42 m, el punto más alto (2 + 40). Correcto.
Error frecuente
Dos confusiones se repiten con los parámetros. La primera: pensar que b es el periodo. No lo es —el periodo es 2π/|b|. Un valor de b grande comprime la onda y acorta el periodo. La segunda: equivocar el sentido del desplazamiento horizontal. En f(x) = a sen(b(x + c)) + d, un c positivo mueve la gráfica hacia la izquierda, no a la derecha. Y cuidado al factorizar: en sen(2x + π) el desplazamiento no es π, hay que sacar factor común el b primero: sen(2(x + π/2)), de modo que el desplazamiento real es π/2.
Las preguntas de 3.7 piden casi siempre dos cosas: leer parámetros a partir de una gráfica o construir un modelo a partir de un contexto. Tres consejos: (i) para hallar la amplitud y la línea media usa siempre a = (máx − mín)/2 y d = (máx + mín)/2, son infalibles; (ii) para el periodo, mide la distancia entre dos máximos consecutivos en la gráfica y despeja b de 2π/b = periodo; (iii) elige seno o coseno según el punto de partida —si la curva arranca en la línea media subiendo, usa seno; si arranca en un máximo, usa coseno; si arranca en un mínimo, usa −cos. Practica con la calculadora en modo radianes y verifica el modelo sustituyendo un valor conocido.