Una ecuación trigonométrica plantea una pregunta del tipo: ¿para qué ángulos vale sen x exactamente 0,5? A diferencia de las ecuaciones algebraicas que conoces, esta tiene infinitas soluciones, porque las funciones trigonométricas son periódicas y repiten cada valor una y otra vez. Por eso el IB siempre acota el problema: pide las soluciones dentro de un intervalo finito.
El subtema NM 3.8 cierra el bloque de trigonometría reuniendo todo lo anterior: el círculo unidad para localizar las soluciones, los valores exactos para resolver sin calculadora, las identidades de 3.6 para simplificar y las gráficas de 3.7 para el enfoque visual. Aprenderás dos métodos —analítico y gráfico— y la técnica clave para las ecuaciones que se reducen a una cuadrática.
Resolver ecuaciones trigonométricas básicas
El método: una solución base y las simetrías
Resolver sen x = k, cos x = k o tan x = k en un intervalo dado sigue siempre el mismo guion. Primero se obtiene una solución base con la función inversa de la calculadora (o con los valores exactos). Después, las simetrías del círculo unidad generan las demás soluciones dentro del intervalo.
Cómo generar todas las soluciones
Sea α la solución base obtenida con la función inversa. Las demás soluciones del intervalo se obtienen así:
- sen x = k: la segunda solución básica es π − α (mismo seno, ángulo suplementario). Luego se suma 2π tantas veces como haga falta.
- cos x = k: la segunda solución básica es −α (mismo coseno, el coseno es par). Luego se suma 2π.
- tan x = k: las soluciones se repiten cada π, así que basta sumar π a la solución base.
En NM no se pide la solución general (la fórmula con un parámetro entero n que recoge las infinitas soluciones): eso es contenido de NS. En NM siempre te dan un intervalo concreto y solo listas las soluciones que caen dentro.
Ejemplo 1 — ecuación básica con valores exactos. Resuelve cos x = −√2/2 para 0 ≤ x ≤ 2π.
- El coseno es negativo, así que las soluciones están en los cuadrantes II y III.
- Ángulo de referencia: el ángulo agudo cuyo coseno vale √2/2 es π/4.
- Solución en el cuadrante II: x = π − π/4 = 3π/4.
- Solución en el cuadrante III: x = π + π/4 = 5π/4.
- Ambas caen en [0, 2π], así que las soluciones son x = 3π/4 y x = 5π/4.
Ejemplo 2 — argumento múltiple. Resuelve sen 2x = 1/2 para 0 ≤ x ≤ 2π.
- Llama u = 2x. Si x recorre [0, 2π], entonces u recorre [0, 4π]: el intervalo de u es el doble de ancho.
- Resuelve sen u = 1/2. La solución base es u = π/6; la suplementaria es π − π/6 = 5π/6.
- Suma 2π a cada una para cubrir todo [0, 4π]: π/6, 5π/6, π/6 + 2π = 13π/6, 5π/6 + 2π = 17π/6. Todas son ≤ 4π.
- Deshaz el cambio: x = u/2. Las soluciones son x = π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.
El método gráfico
La Prueba 2 admite resolver una ecuación trigonométrica con la calculadora gráfica. La idea es interpretar la ecuación como una intersección: las soluciones de f(x) = g(x) son las abscisas de los puntos de corte de las dos curvas y = f(x) e y = g(x).
Por ejemplo, para resolver 2 sen x = x − 1 en [0, 2π] —una ecuación que no tiene solución exacta—, se representa y = 2 sen x e y = x − 1 y se usa la utilidad de intersección. El método gráfico es la única vía para ecuaciones que mezclan una razón trigonométrica con un término polinómico, y un buen control para las que sí tienen solución exacta.
Ecuaciones que se reducen a una cuadrática
El tipo de ecuación más característico del subtema 3.8 es el que, mediante un cambio de variable, se transforma en una ecuación de segundo grado. La técnica reúne todo lo aprendido: identidades para uniformar las razones, factorización o fórmula cuadrática para resolver, y el círculo unidad para listar los ángulos.
La estrategia en tres pasos
Reducir a una cuadrática
Cuando una ecuación contiene una razón trigonométrica al cuadrado y la misma razón al cuadrado simple, sigue estos tres pasos:
- Uniformar. Si aparecen dos razones distintas, usa una identidad —típicamente cos²x = 1 − sen²x o sen²x = 1 − cos²x— para dejar todo en una sola.
- Sustituir y resolver. Llama t a esa razón. La ecuación se convierte en una cuadrática at² + bt + c = 0; resuélvela por factorización o con la fórmula general.
- Volver y filtrar. Deshaz el cambio y, para cada valor de t, halla los ángulos del intervalo. Descarta los valores de t fuera de [−1, 1] para seno y coseno.
Ejemplo 3 — cuadrática que necesita una identidad. Resuelve 2 sen²x + 3 cos x = 3 para 0 ≤ x ≤ 2π.
- Uniformar: la ecuación mezcla sen²x y cos x. Sustituye sen²x = 1 − cos²x: 2(1 − cos²x) + 3 cos x = 3.
- Desarrolla: 2 − 2 cos²x + 3 cos x = 3, es decir −2 cos²x + 3 cos x − 1 = 0. Multiplica por −1: 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0.
- Sustituye t = cos x: 2t² − 3t + 1 = 0. Factoriza: (2t − 1)(t − 1) = 0, así que t = 1/2 o t = 1.
- Vuelve a cos x. Para cos x = 1/2 en [0, 2π]: x = π/3 y x = 2π − π/3 = 5π/3.
- Para cos x = 1 en [0, 2π]: x = 0 y x = 2π (los dos extremos del intervalo cerrado).
- Soluciones: x = 0, π/3, 5π/3, 2π.
Ejemplo 4 — cuadrática en un intervalo ampliado, con solución extraña. Resuelve 2 cos²x − 5 sen x − 4 = 0 para 0 ≤ x ≤ 4π.
- Uniformar: sustituye cos²x = 1 − sen²x: 2(1 − sen²x) − 5 sen x − 4 = 0.
- Desarrolla: 2 − 2 sen²x − 5 sen x − 4 = 0, es decir −2 sen²x − 5 sen x − 2 = 0. Multiplica por −1: 2 sen²x + 5 sen x + 2 = 0.
- Sustituye t = sen x: 2t² + 5t + 2 = 0. Con la fórmula general, t = (−5 ± √(25 − 16))/4 = (−5 ± 3)/4. Así t = −1/2 o t = −2.
- Filtra: t = −2 es una solución extraña —el seno nunca baja de −1, así que se descarta. Queda solo sen x = −1/2.
- Resuelve sen x = −1/2 en [0, 2π]: seno negativo, cuadrantes III y IV. Ángulo de referencia π/6. Soluciones: π + π/6 = 7π/6 y 2π − π/6 = 11π/6.
- El intervalo llega hasta 4π, así que suma 2π a cada una: 7π/6 + 2π = 19π/6 y 11π/6 + 2π = 23π/6, ambas ≤ 4π.
- Soluciones: x = 7π/6, 11π/6, 19π/6, 23π/6.
| Método | Cuándo conviene | Prueba del IB |
|---|---|---|
| Analítico (exacto) | Cuando los valores que salen son los de ángulos especiales (π/6, π/4, π/3...). | Prueba 1 (sin calculadora) y Prueba 2. |
| Reducción a cuadrática | Cuando aparece una razón al cuadrado, o dos razones que una identidad puede unificar. | Prueba 1 y Prueba 2. |
| Gráfico (intersección) | Cuando la ecuación mezcla trigonometría con términos polinómicos o no tiene solución exacta. | Solo Prueba 2 (con calculadora). |
Error frecuente
Tres descuidos se llevan marcas en este subtema. El primero: dar solo la solución de la calculadora y olvidar la segunda solución básica —para sen x = k hay que añadir π − α; para cos x = k, −α. El segundo: con argumento múltiple (2x, 3x), no ampliar el intervalo antes de resolver, lo que hace perder soluciones. El tercero: aceptar una solución extraña; tras resolver la cuadrática, comprueba siempre que cada valor de sen x o cos x esté dentro de [−1, 1], y descarta el que no lo cumpla. Y recuerda: en un intervalo cerrado como [0, 2π], los extremos pueden ser solución.
Las preguntas de 3.8 valen varios puntos y siguen un patrón muy reconocible. Tres reflejos: (i) si ves una razón al cuadrado, piensa de inmediato en cuadrática y cambio de variable; si hay dos razones distintas, uniformar con la identidad pitagórica suele ser el primer paso; (ii) cuenta cuántas soluciones esperas —el periodo y la amplitud del intervalo te dicen aproximadamente cuántas hay, lo que sirve de control; (iii) en la Prueba 2, una vez resuelta la ecuación a mano, verifica las soluciones con el método gráfico de intersección. No pierdas tiempo buscando la solución general: en NM no entra; basta con listar las del intervalo pedido.