La derivada que conociste en el subtema 5.1 no es solo un número asociado a una tangente: es una herramienta de diagnóstico. Su signo te dice, sin necesidad de dibujar la gráfica, si la función sube o baja en cada tramo, y sus ceros señalan los puntos donde la función cambia de tendencia. Saber leer el signo de f′(x) es lo que convierte la derivada en un instrumento para entender el comportamiento global de una función.
El subtema NM 5.2 establece el puente entre el cálculo y la forma de las gráficas. Es la base de las aplicaciones de la derivada que verás más adelante —en particular, la localización de máximos y mínimos en problemas de optimización—. Aquí trabajamos la interpretación; en los subtemas siguientes aprenderás a calcular f′(x) con reglas para poder aplicarla a funciones concretas.
Funciones crecientes y decrecientes
Qué significa crecer y decrecer
Una función es creciente en un intervalo cuando, al avanzar de izquierda a derecha por ese intervalo, sus valores aumentan: si tomas dos abscisas x1 < x2 del intervalo, entonces f(x1) < f(x2). Gráficamente, la curva sube. Es decreciente cuando ocurre lo contrario: al avanzar hacia la derecha los valores disminuyen, f(x1) > f(x2), y la curva baja.
Una misma función puede ser creciente en unos tramos y decreciente en otros. La parábola f(x) = x2, por ejemplo, decrece mientras x < 0 y crece cuando x > 0; el punto donde cambia de comportamiento es el vértice. Describir una función "por intervalos de crecimiento" es darla a entender de un vistazo.
Crecimiento y signo de la derivada
Sea f una función derivable en un intervalo. Entonces:
- Si f′(x) > 0 en todo el intervalo, f es creciente en él (las tangentes suben).
- Si f′(x) < 0 en todo el intervalo, f es decreciente en él (las tangentes bajan).
- Si f′(x) = 0 en un punto, la tangente es horizontal: ese punto es estacionario.
Por qué el signo de la derivada decide el crecimiento
El motivo es directo si recuerdas qué es la derivada. f′(x) es la pendiente de la recta tangente en cada punto. Una pendiente positiva corresponde a una recta que sube de izquierda a derecha; si la tangente sube en cada punto de un tramo, la curva sube en todo ese tramo, es decir, la función crece. Una pendiente negativa corresponde a una recta que baja, y arrastra a la curva hacia abajo: la función decrece.
Es la misma idea que ya usas con las funciones lineales. La recta y = 3x + 1 tiene pendiente constante 3 > 0 y siempre crece; la recta y = −2x + 5 tiene pendiente −2 < 0 y siempre decrece. Para una curva, la pendiente cambia de un punto a otro, pero el criterio es idéntico: el signo de la pendiente —ahora dado por f′(x)— manda sobre el crecimiento.
| Signo de f′(x) | Tangente | Comportamiento de f |
|---|---|---|
| f′(x) > 0 | Sube de izquierda a derecha | Creciente: la curva sube |
| f′(x) = 0 | Horizontal | Punto estacionario: posible máximo o mínimo |
| f′(x) < 0 | Baja de izquierda a derecha | Decreciente: la curva baja |
Ejemplo 1 — leer el crecimiento a partir de la derivada. De una función f se sabe que su derivada es f′(x) = 2x − 6. Determina en qué intervalos f crece y en cuáles decrece.
- Buscamos primero dónde se anula la derivada: 2x − 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. En x = 3 hay un punto estacionario.
- A la izquierda de 3, probamos x = 0: f′(0) = 2(0) − 6 = −6 < 0. Por tanto f es decreciente para x < 3.
- A la derecha de 3, probamos x = 5: f′(5) = 2(5) − 6 = 4 > 0. Por tanto f es creciente para x > 3.
- La función baja, llega a x = 3 y empieza a subir: en x = 3 hay un mínimo local.
Puntos estacionarios y cambios de tendencia
Qué ocurre cuando f′(x) = 0
Los puntos donde f′(x) = 0 se llaman puntos estacionarios: la tangente es horizontal y, durante ese instante, la función "no sube ni baja". Son los candidatos a máximos y mínimos, pero que f′ valga 0 no garantiza por sí solo un máximo o un mínimo. Lo que decide es cómo cambia el signo de la derivada al pasar por ese punto.
| Antes del punto | En el punto | Después | Clasificación |
|---|---|---|---|
| f′ > 0 (sube) | f′ = 0 | f′ < 0 (baja) | Máximo local |
| f′ < 0 (baja) | f′ = 0 | f′ > 0 (sube) | Mínimo local |
| f′ > 0 (sube) | f′ = 0 | f′ > 0 (sube) | Punto de inflexión con tangente horizontal |
La lógica es intuitiva. En un máximo local la función venía subiendo (f′ > 0), se detiene un instante (f′ = 0) y empieza a bajar (f′ < 0): es una cima. En un mínimo local venía bajando, se detiene y empieza a subir: es un valle. Si la derivada vale 0 pero no cambia de signo, la función simplemente "hace una pausa" sin invertir su tendencia: ese es un punto de inflexión con tangente horizontal.
Error frecuente
Dar por hecho que todo punto con f′(x) = 0 es un máximo o un mínimo. No siempre lo es. La función f(x) = x3 tiene derivada f′(x) = 3x2, que se anula en x = 0; pero 3x2 > 0 tanto a la izquierda como a la derecha de 0 (por ejemplo f′(−1) = 3 y f′(1) = 3). La derivada no cambia de signo: la función sigue creciendo a ambos lados. En x = 0 hay una tangente horizontal, pero no un máximo ni un mínimo. Siempre comprueba el signo de f′ a los dos lados del punto estacionario antes de clasificarlo.
Construir la tabla de signos de la derivada
El procedimiento estándar para describir el crecimiento de una función reúne todo lo anterior en una tabla de signos: se hallan los puntos estacionarios resolviendo f′(x) = 0, esos puntos parten la recta en intervalos, y en cada intervalo un valor de prueba revela el signo de la derivada.
Ejemplo 2 — describir el crecimiento de una cúbica. Una función tiene derivada f′(x) = 3x2 − 12. Halla sus puntos estacionarios y clasifícalos.
- Resolvemos f′(x) = 0: 3x2 − 12 = 0 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = −2 o x = 2.
- Los puntos −2 y 2 dividen la recta en tres intervalos: x < −2, −2 < x < 2, x > 2.
- Valor de prueba x = −3 (tramo izquierdo): f′(−3) = 3(9) − 12 = 27 − 12 = 15 > 0 ⇒ creciente.
- Valor de prueba x = 0 (tramo central): f′(0) = 3(0) − 12 = −12 < 0 ⇒ decreciente.
- Valor de prueba x = 3 (tramo derecho): f′(3) = 3(9) − 12 = 15 > 0 ⇒ creciente.
- En x = −2 la derivada pasa de + a −: máximo local. En x = 2 pasa de − a +: mínimo local.
Ejemplo 3 — una función siempre creciente. Comprueba que g, cuya derivada es g′(x) = x2 + 5, es creciente en todo ℝ.
- x2 es siempre mayor o igual que 0, sea cual sea x (un cuadrado nunca es negativo).
- Por tanto g′(x) = x2 + 5 ≥ 0 + 5 = 5 > 0 para todo x.
- La derivada es estrictamente positiva en cualquier punto, así que g es creciente en todo su dominio y no tiene puntos estacionarios.
Ejemplo 4 — interpretar el crecimiento de una gráfica. La altura de una pelota lanzada hacia arriba viene dada por h(t), y se sabe que su derivada es h′(t) = 20 − 10t (con t en segundos). Describe el movimiento.
- Punto estacionario: 20 − 10t = 0 ⇒ 10t = 20 ⇒ t = 2 s.
- Para t < 2, por ejemplo t = 0: h′(0) = 20 − 0 = 20 > 0 ⇒ la altura crece, la pelota sube.
- Para t > 2, por ejemplo t = 3: h′(3) = 20 − 30 = −10 < 0 ⇒ la altura decrece, la pelota baja.
- En t = 2 s la derivada vale 0 y pasa de + a −: la pelota alcanza su altura máxima. La derivada h′ es la velocidad, así que en el punto más alto la velocidad es momentáneamente nula: tiene todo el sentido físico.
Para las preguntas de 5.2 sigue siempre el mismo guion: (i) resuelve f′(x) = 0 para encontrar los puntos estacionarios; (ii) usa esos puntos para partir la recta en intervalos y aplica el método del valor de prueba en cada uno; (iii) escribe los intervalos de crecimiento usando notación de desigualdad clara, por ejemplo "f es creciente para x < 3"; (iv) para clasificar un punto estacionario, indica explícitamente el cambio de signo —"f′ pasa de positiva a negativa, luego es un máximo"—; el examinador da marcas por la justificación, no solo por la palabra "máximo".