Matemáticas AA · Introducción a la derivada

5.3 Derivada de funciones polinómicas

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En el subtema 5.1 calculaste la derivada de x2 en un punto construyendo tablas de pendientes de secantes: un proceso correcto, pero laborioso. La buena noticia es que, para las funciones polinómicas, ese límite siempre conduce al mismo patrón sencillo. En lugar de repetir el proceso de las secantes cada vez, basta con aplicar una regla mecánica: la regla de la potencia.

El subtema NM 5.3 te da la primera técnica de derivación de la asignatura. A partir de aquí podrás derivar cualquier polinomio en segundos, sin tablas. Es la herramienta de cálculo que da sentido práctico a todo lo que viste en 5.1 y 5.2: una vez sabes obtener f′(x) con rapidez, puedes hallar pendientes de tangentes, puntos estacionarios e intervalos de crecimiento de funciones reales.

La regla de la potencia

Cómo se deriva un monomio

Un monomio es un término de la forma axn: un coeficiente multiplicando una potencia de la variable. La regla de la potencia indica cómo derivarlo de manera directa.

Regla de la potencia

Si f(x) = axn, con n entero, entonces

f′(x) = a·n·xn−1

En palabras: se baja el exponente multiplicándolo por el coeficiente, y se reduce el exponente en una unidad. El coeficiente nuevo es a·n; el exponente nuevo es n − 1.

Conviene ver la regla actuando paso a paso sobre casos sencillos, porque de ellos se deducen todos los demás:

FunciónAplicación de la reglaDerivada
f(x) = x5Coeficiente 1, exponente 5: 1·5·x5−1f′(x) = 5x4
f(x) = 4x3Coeficiente 4, exponente 3: 4·3·x3−1f′(x) = 12x2
f(x) = 7xx es x1: 7·1·x1−1 = 7x0 = 7·1f′(x) = 7
f(x) = 9Constante: 9 = 9x0, su derivada es 9·0·x−1 = 0f′(x) = 0

Dos casos de la tabla merecen atención. El término 7x tiene exponente 1, y al aplicar la regla el exponente baja a 0; como x0 = 1, queda simplemente el coeficiente 7. La derivada de un término lineal ax es siempre su coeficiente a. Y el término constante 9 puede entenderse como 9x0; al multiplicar por el exponente 0, la derivada se anula.

Dos casos que conviene memorizar

  • Derivada de una constante: si f(x) = c, entonces f′(x) = 0. Una constante no cambia, así que su razón de cambio es nula.
  • Derivada de un término lineal: si f(x) = ax, entonces f′(x) = a. La gráfica es una recta de pendiente constante a.

Por qué la derivada de una constante es 0

El resultado encaja con todo lo anterior. La gráfica de f(x) = c es una recta horizontal. La derivada mide la pendiente de la tangente, y la tangente a una recta horizontal es la propia recta horizontal, de pendiente 0. Dicho de otro modo: una función constante no crece ni decrece nunca, así que su razón de cambio es 0 en todos sus puntos. Por eso, al derivar un polinomio, el término independiente desaparece.

💡 Recuerda la dirección de la regla: el exponente se baja (pasa a multiplicar) y luego se resta 1. Nunca al revés. Si la función es x3, la derivada es 3x2: el 3 baja y el exponente queda en 2. Un truco para no equivocarte: la derivada de un polinomio siempre tiene grado uno menos que el original.

Derivar polinomios completos

La derivada se reparte término a término

Un polinomio es una suma de monomios. La propiedad que hace tan cómodo derivarlo es que la derivada de una suma es la suma de las derivadas: cada término se deriva por su cuenta, con la regla de la potencia, sin que los demás interfieran. El procedimiento para derivar un polinomio es, por tanto, repetir la regla de la potencia en cada monomio y volver a sumar los resultados.

Derivada de un polinomio

Si f(x) = axn + bxn−1 + … + px + q, entonces

f′(x) = anxn−1 + b(n−1)xn−2 + … + p

Se deriva monomio a monomio: el término lineal px deja su coeficiente p y el término independiente q desaparece (su derivada es 0).

Ejemplo 1 — derivar un polinomio de grado tres. Deriva f(x) = 2x3 − 5x2 + 4x − 9.

  1. Término 2x3: baja el 3 y reduce el exponente ⇒ 2·3·x2 = 6x2.
  2. Término −5x2: baja el 2 ⇒ −5·2·x1 = −10x.
  3. Término 4x: es lineal, su derivada es el coeficiente ⇒ 4.
  4. Término −9: es constante, su derivada es ⇒ 0.
  5. Sumando los resultados: f′(x) = 6x2 − 10x + 4. Observa que el grado ha bajado de 3 a 2.

Ejemplo 2 — derivar y evaluar la derivada. Para g(x) = x4 − 3x2 + 6, halla g′(x) y calcula g′(2).

  1. Término x4: 1·4·x3 = 4x3.
  2. Término −3x2: −3·2·x1 = −6x.
  3. Término 6: constante, derivada 0.
  4. Derivada: g′(x) = 4x3 − 6x.
  5. Evaluamos en x = 2: g′(2) = 4(2)3 − 6(2) = 4·8 − 12 = 32 − 12 = 20.
  6. Interpretación: la pendiente de la tangente a la gráfica de g en x = 2 es 20; la curva sube con fuerte inclinación en ese punto.
💡 Derivar y evaluar son dos pasos: g′(x) es una función —la función pendiente—; g′(2) es el número que se obtiene al sustituir x = 2 en ella. Halla siempre primero la derivada en general y solo después sustituye el valor concreto. Hacerlo al revés es fuente habitual de errores.

Cuidado con la presentación de los términos

Antes de derivar conviene revisar que cada término esté escrito como un monomio axn reconocible. Si en el enunciado aparecen productos o paréntesis, primero hay que desarrollar el polinomio; la regla de la potencia se aplica a cada término ya simplificado, no al producto sin desarrollar.

Error frecuente

Intentar derivar un producto "derivando cada factor por separado". La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Si te dan f(x) = x2(x + 3), no derives x2 y (x + 3) por su lado. Lo correcto en Nivel Medio es desarrollar primero: f(x) = x2·x + x2·3 = x3 + 3x2, y entonces derivar término a término ⇒ f′(x) = 3x2 + 6x. La regla del producto existe, pero no se necesita aquí: con desarrollar basta.

Ejemplo 3 — desarrollar antes de derivar. Deriva f(x) = (2x − 1)(x + 4).

  1. Desarrollamos el producto: (2x − 1)(x + 4) = 2x·x + 2x·4 − 1·x − 1·4 = 2x2 + 8x − x − 4.
  2. Reducimos términos semejantes: f(x) = 2x2 + 7x − 4.
  3. Ahora sí, derivamos término a término: 2x2 ⇒ 4x;   7x ⇒ 7;   −4 ⇒ 0.
  4. Resultado: f′(x) = 4x + 7.

Ejemplo 4 — usar la derivada para hallar un punto estacionario. La función f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 2 modela cierto proceso. Halla los valores de x donde su gráfica tiene tangente horizontal.

  1. Derivamos término a término: x3 ⇒ 3x2;   −3x2 ⇒ −6x;   −9x ⇒ −9;   2 ⇒ 0.
  2. Derivada: f′(x) = 3x2 − 6x − 9.
  3. La tangente es horizontal donde f′(x) = 0:   3x2 − 6x − 9 = 0. Dividimos toda la ecuación entre 3:   x2 − 2x − 3 = 0.
  4. Factorizamos: x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0, así que x = 3 o x = −1.
  5. Comprobación de la factorización: (x − 3)(x + 1) = x2 + x − 3x − 3 = x2 − 2x − 3. ✓
  6. La gráfica de f tiene tangente horizontal en x = −1 y en x = 3: son sus puntos estacionarios.
Para el examen

Las preguntas de 5.3 son de las que más marcas seguras dan si trabajas con orden: (i) deriva término a término y no te saltes el término lineal —su derivada es el coeficiente, no 0— ni el independiente —ese sí, su derivada es 0—; (ii) si hay productos o potencias de binomios, desarrolla primero y reduce, luego deriva; (iii) recuerda que la derivada de un polinomio de grado n tiene grado n − 1: un control rápido para detectar fallos; (iv) cuando te pidan f′(a), halla la derivada en general y sustituye al final, dejando el cálculo numérico visible paso a paso.