Cuando lanzas dos dados y sumas sus caras, el resultado es un número entre 2 y 12, pero no todos esos números son igual de probables: el 7 sale mucho más a menudo que el 2. Cuando cuentas cuántos correos electrónicos recibes en una hora, o cuántas veces aciertas en una serie de tiros libres, también obtienes un número que cambia de una repetición a otra y que sigue un patrón estadístico. Una variable aleatoria discreta es la herramienta matemática que ordena ese patrón: pone nombre a la cantidad que mide el experimento y le asigna, valor por valor, su probabilidad.
El subtema NM 4.7 es la puerta de entrada a las distribuciones de probabilidad. Aquí aprendes a describir una variable aleatoria mediante su distribución de probabilidad y a resumirla con un único número, la esperanza matemática, que es la media teórica. Sobre estas dos ideas se construyen los modelos que verás después: la distribución binomial (NM 4.8) y la distribución normal (NM 4.9) son simplemente variables aleatorias con distribuciones especialmente útiles. Y la aplicación más vistosa —decidir si un juego de azar es justo— sale directamente de poner E(X) igual a cero.
Variables aleatorias discretas y su distribución
Qué es una variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria es una función que transforma cada resultado de un experimento aleatorio en un número real. Se escribe con letra mayúscula, normalmente X, y los valores concretos que puede tomar con minúscula, x. Decimos que es discreta cuando el conjunto de valores que puede tomar se puede enumerar: 0, 1, 2, 3… La cantidad de caras al lanzar tres monedas (0, 1, 2 o 3), el número de hijos de una familia o la puntuación de un dado son variables aleatorias discretas. En cambio, la estatura de una persona o el tiempo que tarda un autobús son variables continuas, porque pueden tomar cualquier valor de un intervalo; esas se estudian con la distribución normal más adelante.
La diferencia clave es práctica: en una variable discreta tiene sentido preguntar «¿cuál es la probabilidad de que X valga exactamente 2?», y esa probabilidad puede ser distinta de cero. La notación que se usa para ello es P(X = x), que se lee «probabilidad de que la variable X tome el valor x».
La distribución de probabilidad
Conocer una variable aleatoria discreta significa conocer su distribución de probabilidad: la lista completa de los valores que puede tomar junto con la probabilidad de cada uno. La distribución se presenta de dos maneras equivalentes.
| Forma | Cómo se da | Ejemplo |
|---|---|---|
| Tabla | Una fila con los valores x y otra con sus probabilidades P(X = x). | Útil cuando hay pocos valores y no siguen un patrón sencillo. |
| Fórmula | Una expresión P(X = x) que depende de x, válida para los valores indicados. | Útil cuando la regla es regular, p. ej. P(X = x) = x/10 para x = 1, 2, 3, 4. |
Condiciones de una distribución de probabilidad
Una asignación de probabilidades a los valores de una variable aleatoria discreta X es una distribución de probabilidad válida cuando, y solo cuando, cumple las dos condiciones siguientes:
- Cada probabilidad está acotada: 0 ≤ P(X = x) ≤ 1 para todo valor x.
- La suma de todas las probabilidades vale exactamente uno: Σ P(X = x) = 1.
La segunda condición es la más útil para resolver problemas: si en una tabla o en una fórmula aparece una probabilidad desconocida, se halla imponiendo que el total sume 1. Tiene una lectura intuitiva: alguno de los resultados tiene que ocurrir, así que la probabilidad de «algo pasa» es la certeza, es decir, 1.
Ejemplo 1 — hallar una probabilidad desconocida en una tabla. Una variable aleatoria discreta X tiene la siguiente distribución, donde k es un número por determinar. Halla k y luego P(X ≥ 3).
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P(X = x) | 0,2 | 0,35 | k | 0,15 |
- Aplicar la condición de que las probabilidades suman 1: 0,2 + 0,35 + k + 0,15 = 1.
- Sumar las probabilidades conocidas: 0,2 + 0,35 + 0,15 = 0,7.
- Despejar: k = 1 − 0,7 = 0,3. Es un número entre 0 y 1, así que es válido.
- Calcular P(X ≥ 3): son los valores 3 y 4, luego P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,3 + 0,15 = 0,45.
Ejemplo 2 — distribución dada por una fórmula. Una variable aleatoria X toma los valores 1, 2, 3 y 4, y su función de probabilidad es P(X = x) = c·x, donde c es una constante. Halla c y comprueba que la distribución es válida.
- Escribir las cuatro probabilidades: P(X = 1) = c, P(X = 2) = 2c, P(X = 3) = 3c y P(X = 4) = 4c.
- Imponer que sumen 1: c + 2c + 3c + 4c = 10c = 1.
- Despejar: c = 1/10 = 0,1.
- Comprobar: las probabilidades son 0,1, 0,2, 0,3 y 0,4; todas están entre 0 y 1, y 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 = 1. La distribución es válida.
La esperanza matemática E(X)
Definición e interpretación
Una distribución de probabilidad puede tener muchos valores, pero a menudo queremos resumirla en un solo número que diga «cuánto vale por término medio». Ese número es la esperanza matemática, también llamada valor esperado o media de la variable, y se denota E(X) o μ.
Esperanza matemática de una variable discreta
Si una variable aleatoria discreta X toma los valores x1, x2, …, xn con probabilidades respectivas P(X = x1), …, P(X = xn), su esperanza matemática es
E(X) = Σ x · P(X = x)
Es decir: se multiplica cada valor por su probabilidad y se suman todos los productos. El resultado es una media ponderada en la que el peso de cada valor es justamente su probabilidad.
La interpretación es la clave de todo el subtema. E(X) no es el valor más probable ni un valor que la variable tenga que tomar: la esperanza de la puntuación de un dado es 3,5, y un dado nunca muestra 3,5. Lo que dice E(X) es el promedio a largo plazo: si repites el experimento miles de veces y haces la media de los resultados, esa media se acerca a E(X). Por eso la esperanza es la herramienta natural para tomar decisiones sobre situaciones que se repiten muchas veces, como los juegos de azar o los seguros.
Cálculo de la esperanza paso a paso
Ejemplo 3 — esperanza de la puntuación de un dado. Se lanza un dado equilibrado de seis caras y X es la puntuación obtenida. Calcula E(X).
- La variable toma los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6, cada uno con probabilidad 1/6, porque el dado es equilibrado.
- Aplicar la definición: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + 3·(1/6) + 4·(1/6) + 5·(1/6) + 6·(1/6).
- Sacar factor común 1/6: E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)·(1/6) = 21·(1/6).
- Operar: E(X) = 21/6 = 3,5.
El resultado, 3,5, es el punto medio entre 1 y 6, lo que tiene sentido porque la distribución es simétrica. Ningún lanzamiento da 3,5, pero la media de muchísimos lanzamientos se aproxima a ese valor.
Ejemplo 4 — esperanza de una distribución no uniforme. Una variable aleatoria X tiene la distribución de la tabla. Calcula su esperanza matemática.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X = x) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
- Comprobar primero que la distribución es válida: 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,2 = 1. Correcto.
- Multiplicar cada valor por su probabilidad: 0·0,1 = 0; 1·0,3 = 0,3; 2·0,4 = 0,8; 3·0,2 = 0,6.
- Sumar los productos: E(X) = 0 + 0,3 + 0,8 + 0,6 = 1,7.
La esperanza vale 1,7. Observa que cae entre 1 y 2, sesgada hacia el lado donde se concentra más probabilidad: como el valor 2 es el más probable, la media se desplaza hacia él.
Juegos justos: cuando E(X) = 0
La aplicación que pide explícitamente la guía AA es decidir si un juego de azar es justo. Si X representa la ganancia neta de un jugador (lo que gana menos lo que paga por jugar), entonces:
- Si E(X) = 0, el juego es justo: a largo plazo el jugador ni gana ni pierde.
- Si E(X) < 0, el juego es desfavorable al jugador: a largo plazo pierde dinero (es lo habitual en los casinos).
- Si E(X) > 0, el juego es favorable al jugador.
Ejemplo 5 — ¿es justo este juego? En una feria pagas 2 € por lanzar un dado equilibrado. Si sale un 6, recibes 10 €; si sale un 5, recibes 2 €; con cualquier otro resultado no recibes nada. Sea X la ganancia neta del jugador. ¿Es justo el juego?
- Identificar los resultados y sus ganancias netas. La ganancia neta es lo recibido menos los 2 € de la apuesta:
- Sale un 6 (probabilidad 1/6): recibe 10 €, neto = 10 − 2 = +8 €.
- Sale un 5 (probabilidad 1/6): recibe 2 €, neto = 2 − 2 = 0 €.
- Sale 1, 2, 3 o 4 (probabilidad 4/6): recibe 0 €, neto = 0 − 2 = −2 €.
- Escribir la distribución de X: P(X = 8) = 1/6, P(X = 0) = 1/6, P(X = −2) = 4/6.
- Aplicar E(X) = Σ x·P(X = x): E(X) = 8·(1/6) + 0·(1/6) + (−2)·(4/6).
- Operar cada producto: 8·(1/6) = 8/6; 0·(1/6) = 0; (−2)·(4/6) = −8/6.
- Sumar: E(X) = 8/6 + 0 − 8/6 = 0.
- Como E(X) = 0, el juego es justo: a largo plazo el jugador ni gana ni pierde dinero.
Error frecuente
Confundir el dinero que recibes con la ganancia neta. Si la pregunta dice «X es la ganancia del jugador» y has pagado una apuesta para jugar, esa apuesta hay que restarla de lo que recibes. En el Ejemplo 5, si por error usas como valores 10, 2 y 0 (lo recibido, sin descontar los 2 €), obtienes E(X) = 10/6 + 2/6 + 0 = 2 €, y concluyes erróneamente que el juego es favorable. La diferencia entre «recibo» y «gano» son justamente los 2 € de la entrada. Lee siempre con cuidado qué representa la variable.
En la Prueba 1 (sin calculadora) y la Prueba 2, las preguntas de 4.7 siguen casi siempre la misma estructura: (i) te dan una tabla con una probabilidad incógnita y la hallas imponiendo Σ P = 1; (ii) calculas E(X) con la fórmula. Tres consejos que rinden marcas: organiza siempre el cálculo en una fila o columna extra «x·P(X = x)» para no perder términos; si la variable es una ganancia, deja escrito explícitamente el descuento de la apuesta antes de operar; y recuerda que E(X) puede ser un número decimal o incluso negativo —no tiene por qué coincidir con ningún valor de la tabla—. Con la calculadora gráfica puedes hallar E(X) introduciendo los valores en una lista y las probabilidades en otra y usando la función de estadística de una variable: la media que devuelve es exactamente E(X).