Imagina que grabas el cuentakilómetros de un coche cada décima de segundo. Con dos lecturas separadas puedes calcular su velocidad media: distancia recorrida dividida por tiempo transcurrido. Pero, ¿qué velocidad marca el coche exactamente en el instante t = 3 s? Esa pregunta no se responde con dos lecturas separadas, porque la velocidad instantánea ocurre en un único punto del tiempo. La idea que resuelve la paradoja —acercar los dos instantes hasta que prácticamente coincidan— es el corazón del cálculo diferencial y el contenido del subtema NM 5.1.
Este subtema abre el Tema 5, Análisis, y presenta dos conceptos entrelazados: el límite, que formaliza la idea de "acercarse a", y la derivada, que aplica esa idea para medir cómo cambia una función. En Nivel Medio no calcularás límites con técnicas analíticas formales: los estimarás a partir de tablas y gráficas. Esa aproximación intuitiva basta para entender de dónde sale la derivada, que es la herramienta que usarás en todo el resto del tema.
El concepto de límite
Qué significa "aproximarse a un valor"
El límite de una función f cuando x tiende a un número a es el valor al que se acerca f(x) a medida que x se aproxima a a, tanto por la izquierda como por la derecha. Se escribe limx→a f(x) = L. La idea clave es que x nunca tiene que llegar a valer a: solo importa el comportamiento de f en las cercanías de a. Por eso el límite puede existir incluso donde la función no está definida.
Límite de una función
Decimos que limx→a f(x) = L cuando, al tomar valores de x cada vez más próximos a a (por ambos lados), los valores de f(x) se aproximan tanto como queramos al número L.
El límite no depende de f(a): describe la tendencia de la función alrededor de a, no su valor exacto en a.
Estimar un límite con una tabla
En Nivel Medio el método estándar para estimar un límite es construir una tabla de valores: se eligen valores de x cada vez más cercanos a a por la izquierda y por la derecha, se calcula f(x) en cada uno y se observa hacia qué número convergen los resultados.
Ejemplo 1 — estimar un límite con una tabla. Estima limx→2 de g(x) = (x2 − 4)/(x − 2).
- En x = 2 la función no está definida: el denominador se anula y aparece la forma 0/0. Por eso no podemos sustituir; tenemos que acercarnos.
- Acercamiento por la izquierda: g(1,9) = (3,61 − 4)/(−0,1) = (−0,39)/(−0,1) = 3,9; g(1,99) = (3,9601 − 4)/(−0,01) = (−0,0399)/(−0,01) = 3,99; g(1,999) = 3,999.
- Acercamiento por la derecha: g(2,1) = (4,41 − 4)/(0,1) = (0,41)/(0,1) = 4,1; g(2,01) = (4,0401 − 4)/(0,01) = (0,0401)/(0,01) = 4,01; g(2,001) = 4,001.
- Por ambos lados los valores se aproximan a 4. Por tanto limx→2 g(x) = 4, aunque g(2) no exista.
Estimar un límite con una gráfica
La gráfica permite leer un límite "siguiendo la curva con la vista" hasta el valor x = a. Si al recorrer la curva por la izquierda y por la derecha la altura de f(x) tiende a la misma altura L, entonces ese es el límite. Esto funciona aunque en x = a haya un "agujero" en la gráfica o aunque el punto dibujado esté a otra altura: el límite mira la tendencia, no el punto aislado.
Ejemplo 2 — leer un límite en una gráfica. Una función h tiene la gráfica de la recta y = 3x − 1 salvo en x = 1, donde hay un punto suelto dibujado en (1, 7). Estima limx→1 h(x).
- Siguiendo la recta por la izquierda: en x = 0,9 la altura es 3(0,9) − 1 = 1,7; en x = 0,99 es 3(0,99) − 1 = 1,97.
- Siguiendo la recta por la derecha: en x = 1,1 la altura es 3(1,1) − 1 = 2,3; en x = 1,01 es 3(1,01) − 1 = 2,03.
- Ambos lados tienden a 3(1) − 1 = 2. El punto suelto en (1, 7) no afecta: limx→1 h(x) = 2, aunque h(1) = 7.
Error frecuente
Confundir el límite con el valor de la función: pensar que limx→a f(x) "es" siempre f(a). No es así. El límite describe hacia dónde se dirige la función al rodear a; el valor f(a) es lo que vale exactamente en a. En los Ejemplos 1 y 2 los dos números son distintos (o uno ni siquiera existe). Cuando coinciden —el caso más común— se dice que la función es continua en a, pero esa coincidencia hay que comprobarla, no darla por hecha.
De la pendiente de las secantes a la derivada
La pendiente de una curva como límite
Una recta tiene una sola pendiente, idéntica en todos sus puntos. Una curva, no: su inclinación cambia continuamente. ¿Cómo medimos entonces la pendiente de una curva en un punto concreto P? La idea, debida a Newton y Leibniz, es de una elegancia notable.
Elige un segundo punto Q sobre la curva, cercano a P. La recta que pasa por P y Q es una secante, y su pendiente es fácil de calcular: incremento de y dividido por incremento de x. Esa pendiente es la razón de cambio media de la función entre P y Q. Ahora desliza Q sobre la curva acercándolo cada vez más a P. Las secantes van cambiando de inclinación y se aproximan a una recta límite: la tangente en P. La pendiente de esa tangente es la razón de cambio instantánea de la función en P.
La pendiente de la tangente como límite
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto P es el límite de las pendientes de las rectas secantes que pasan por P y por un segundo punto Q, a medida que Q se aproxima a P.
Ese límite es la derivada de la función en P. La derivada convierte una razón de cambio media (sobre un intervalo) en una razón de cambio instantánea (en un punto).
Ejemplo 3 — secantes que se acercan a la tangente. Para f(x) = x2, estima la pendiente de la tangente en el punto P(3, 9) usando secantes.
- Toma un segundo punto Q con abscisa x. La pendiente de la secante PQ es (f(x) − f(3))/(x − 3) = (x2 − 9)/(x − 3).
- Con x = 3,1: (9,61 − 9)/(0,1) = 0,61/0,1 = 6,1. Con x = 3,01: (9,0601 − 9)/(0,01) = 0,0601/0,01 = 6,01.
- Con x = 2,9: (8,41 − 9)/(−0,1) = (−0,59)/(−0,1) = 5,9. Con x = 2,99: (8,9401 − 9)/(−0,01) = (−0,0599)/(−0,01) = 5,99.
- Las pendientes de las secantes tienden a 6 por ambos lados. La pendiente de la tangente a y = x2 en x = 3 es 6; es decir, f′(3) = 6.
La derivada como función pendiente y como razón de cambio
Si en lugar de fijar un punto repetimos el proceso del límite de las secantes en cada valor de x, obtenemos una nueva función que a cada x le asigna la pendiente de la tangente en ese punto. Esa función es la derivada, denotada f′(x). Tiene dos lecturas equivalentes:
| Interpretación | Qué mide | Lectura gráfica |
|---|---|---|
| Función pendiente | La inclinación de la gráfica de f en cada punto. | f′(x) es la pendiente de la recta tangente a y = f(x). |
| Razón de cambio | La rapidez con la que cambia f respecto de x. | Un valor grande de f′ indica una curva muy empinada; un valor pequeño, una curva casi plana. |
Las dos interpretaciones son la misma idea vista desde dos ángulos. La pendiente de la tangente es la razón de cambio instantánea: si s(t) representa la posición de un móvil, entonces s′(t) es su velocidad; si V(r) es el volumen de una esfera en función del radio, V′(r) indica cuánto crece el volumen por cada unidad de radio.
Formas de notación de la derivada primera
La derivada admite varias notaciones, todas en uso. Conviene reconocerlas porque el examen las mezcla y porque cada una resalta un aspecto distinto.
| Notación | Se lee | Qué resalta |
|---|---|---|
| f′(x) | "f prima de x" | Notación de Lagrange: compacta, deja claro que la derivada es una función. |
| dy/dx | "derivada de y respecto de x" | Notación de Leibniz: recuerda que la derivada nace de un cociente de incrementos y nombra la variable de derivación. |
| ds/dt, dV/dr | "derivada de s respecto de t", etc. | La misma notación de Leibniz adaptada a otras variables: posición-tiempo, volumen-radio. |
Cuando escribas dV/dr estás diciendo "cómo cambia el volumen al cambiar el radio". La notación de Leibniz es especialmente útil en problemas con contexto físico, porque las letras te recuerdan qué magnitud cambia respecto de cuál. La notación f′(x) es más rápida de escribir y la preferida cuando solo te interesa la función derivada en abstracto.
Tres ideas rinden marcas en las preguntas de 5.1: (i) al estimar un límite con una tabla, acércate siempre por los dos lados y escribe al menos dos o tres valores de cada lado —el examinador quiere ver la tendencia, no un único cálculo—; (ii) no confundas la razón de cambio media (pendiente de una secante, sobre un intervalo) con la razón de cambio instantánea (pendiente de la tangente, en un punto): la pregunta usa una u otra deliberadamente; (iii) si te dan dy/dx o ds/dt, recuerda que es exactamente lo mismo que y′ o s′ —solo cambia la notación, no el concepto.
Ejemplo 4 — razón de cambio media frente a instantánea. Un dron sube y su altura, en metros, viene dada por s(t) = t2 + 2t, con t en segundos. Compara su velocidad media entre t = 1 y t = 3 con su velocidad instantánea en t = 1.
- Velocidad media = (s(3) − s(1))/(3 − 1). Calculamos: s(3) = 9 + 6 = 15 y s(1) = 1 + 2 = 3.
- Velocidad media = (15 − 3)/(3 − 1) = 12/2 = 6 m/s. Es la pendiente de la secante entre los dos instantes.
- Para la velocidad instantánea en t = 1 estimamos con secantes cada vez más cortas. Con t = 1,1: s(1,1) = 1,21 + 2,2 = 3,41; pendiente = (3,41 − 3)/(0,1) = 0,41/0,1 = 4,1.
- Con t = 1,01: s(1,01) = 1,0201 + 2,02 = 3,0401; pendiente = (3,0401 − 3)/(0,01) = 0,0401/0,01 = 4,01. La tendencia es 4 m/s.
- Conclusión: la velocidad media en el intervalo (6 m/s) no coincide con la velocidad instantánea en t = 1 (4 m/s). El dron acelera, así que su velocidad va creciendo y la media del intervalo queda por encima del valor inicial.