Un alumno saca 78 puntos en un examen de Matemáticas y 82 en uno de Historia. ¿En cuál ha destacado más? La nota bruta no basta para responder: depende de cómo de difícil fuera cada examen y de cómo le haya ido al resto de la clase. Si en Matemáticas la media fue 60 y en Historia 85, ese 78 «modesto» es en realidad un resultado mucho mejor que el 82. Para comparar de forma justa hace falta una escala común, y esa escala la proporciona la tipificación.
El subtema NM 4.12 cierra el bloque de la distribución normal. Toma la distribución normal de 4.9 y le añade una transformación —el valor z— que mide cada observación en unidades de desviación típica respecto de su media. Aprenderás a tipificar valores, a interpretar lo que dice un valor z y, sobre todo, a usar la tipificación para resolver el caso más exigente de los exámenes: aquel en el que la media μ o la desviación típica σ son desconocidas y hay que averiguarlas a partir de una probabilidad.
Tipificación: la escala de los valores z
La fórmula de tipificación y su significado
Tipificar un valor consiste en medir su distancia a la media usando la desviación típica como unidad. El resultado es el valor z, también llamado puntuación típica.
Tipificación de un valor
Si X ~ N(μ, σ²), el valor z asociado a una observación x es
z = (x − μ) / σ
El valor z indica a cuántas desviaciones típicas, y en qué dirección, se encuentra x respecto de la media:
- z > 0: el valor está por encima de la media.
- z < 0: el valor está por debajo de la media.
- z = 0: el valor coincide exactamente con la media.
Al tipificar todos los valores de una variable normal se obtiene la distribución normal estándar, Z ~ N(0, 1), de media 0 y desviación típica 1.
Un valor z = 1,5 significa «este dato está una vez y media la desviación típica por encima de su media»; un valor z = −2 significa «dos desviaciones típicas por debajo». Como la escala z es la misma para cualquier distribución normal, dos observaciones de distribuciones distintas se vuelven comparables en cuanto se tipifican: la que tenga el z mayor es la que más destaca respecto de su propio grupo. Esa es la conexión directa con la regla empírica de 4.9: el 68 % de los datos tiene z entre −1 y 1, el 95 % entre −2 y 2 y el 99,7 % entre −3 y 3.
Ejemplo 1 — tipificar un valor. Las estaturas de los alumnos de un curso siguen una distribución normal de media μ = 168 cm y desviación típica σ = 8 cm. Un alumno mide 180 cm. Halla su valor z e interprétalo.
- Aplicar la fórmula de tipificación: z = (x − μ)/σ = (180 − 168)/8.
- Calcular el numerador: 180 − 168 = 12.
- Dividir: z = 12/8 = 1,5.
- Interpretación: el alumno está 1,5 desviaciones típicas por encima de la estatura media del curso. Como z > 0, es más alto que la media.
Ejemplo 2 — comparar dos distribuciones distintas. Una alumna obtiene 78 en un examen de Matemáticas (media de la clase 60, desviación típica 12) y 82 en uno de Historia (media 85, desviación típica 6). ¿En qué asignatura ha destacado más respecto de su clase?
- Tipificar la nota de Matemáticas: zM = (78 − 60)/12 = 18/12 = 1,5.
- Tipificar la nota de Historia: zH = (82 − 85)/6 = (−3)/6 = −0,5.
- Comparar: zM = 1,5 es positivo y mayor que zH = −0,5, que es negativo.
- Conclusión: en Matemáticas la alumna está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de su clase, mientras que en Historia está medio σ por debajo. Aunque la nota bruta de Historia (82) sea mayor, ha destacado claramente más en Matemáticas.
Por qué la tipificación funciona
La fórmula z = (x − μ)/σ hace dos cosas en una. La resta x − μ traslada la distribución para que su centro quede en 0: mide la distancia con signo a la media. La división entre σ reescala esa distancia para que se exprese en unidades de desviación típica, no en las unidades originales (centímetros, puntos, gramos). El resultado es que cualquier distribución normal, por dispar que sea, se convierte en la misma N(0, 1).
| Operación en la fórmula | Qué hace | Efecto sobre la distribución |
|---|---|---|
| Restar μ (el numerador x − μ) | Mide la distancia con signo a la media. | Traslada el centro de la campana a 0. |
| Dividir entre σ | Expresa esa distancia en «número de desviaciones típicas». | Reescala la anchura para que la desviación típica sea 1. |
Error frecuente
Confundir el orden de la resta o dividir entre la varianza. La fórmula es z = (x − μ)/σ, con la media restada al valor (no al revés) y dividiendo entre la desviación típica σ, no entre la varianza σ². Si inviertes la resta obtienes el valor z con el signo cambiado, y concluirás que un dato está por debajo de la media cuando en realidad está por encima. Y si divides entre σ² la escala queda mal. Comprueba siempre el sentido: si x > μ, el valor z tiene que salir positivo.
El proceso inverso: hallar μ o σ desconocidas
De una probabilidad a un valor z
El uso más potente de la tipificación aparece cuando un problema da una probabilidad y pide hallar la media μ o la desviación típica σ, que son desconocidas. La estrategia tiene tres pasos: se obtiene el valor z que corresponde a la probabilidad dada, se sustituye en la fórmula z = (x − μ)/σ junto con el valor x conocido, y se resuelve la ecuación resultante para la incógnita.
El valor z asociado a una probabilidad se obtiene con la normal inversa estándar de la calculadora: se introduce la probabilidad acumulada por la izquierda con media 0 y desviación típica 1, y devuelve el z buscado. Algunos valores aparecen tan a menudo que conviene reconocerlos.
Estrategia del proceso inverso con z
- Identifica la probabilidad que da el enunciado y exprésala como acumulada por la izquierda.
- Halla el valor z correspondiente con la normal inversa estándar, N(0, 1).
- Sustituye ese z, junto con el valor x conocido y el parámetro conocido (μ o σ), en z = (x − μ)/σ.
- Resuelve la ecuación para la incógnita que falta.
Ejemplo 3 — hallar la media μ desconocida. El contenido de las botellas de zumo de una marca sigue una distribución normal de desviación típica σ = 5 ml. Se sabe que el 10 % de las botellas contienen menos de 494 ml. Halla la media μ.
- Traducir el dato: P(X < 494) = 0,10. La probabilidad ya está acumulada por la izquierda.
- Hallar el valor z con la normal inversa estándar para probabilidad 0,10: z ≈ −1,2816. Es negativo, coherente con que 494 ml deja solo un 10 % por debajo, así que está por debajo de la media.
- Sustituir en z = (x − μ)/σ con x = 494, σ = 5: −1,2816 = (494 − μ)/5.
- Despejar μ. Multiplicar ambos lados por 5: −1,2816 · 5 = 494 − μ, es decir, −6,408 = 494 − μ.
- Aislar μ: μ = 494 + 6,408 = 500,4 ml (1 decimal).
- Comprobación de sentido: la media 500,4 ml es mayor que 494 ml, como debía ser, porque 494 ml está en la cola inferior.
Ejemplo 4 — hallar la desviación típica σ desconocida. Las puntuaciones de un examen tipificado siguen una distribución normal de media μ = 500. Se sabe que el 5 % de los examinados superan los 632 puntos. Halla la desviación típica σ.
- Traducir el dato: «el 5 % superan 632» es P(X > 632) = 0,05.
- Pasar a probabilidad por la izquierda: P(X < 632) = 1 − 0,05 = 0,95.
- Hallar el valor z con la normal inversa estándar para probabilidad 0,95: z ≈ 1,6449. Es positivo, coherente con que 632 está por encima de la media de 500.
- Sustituir en z = (x − μ)/σ con x = 632, μ = 500: 1,6449 = (632 − 500)/σ = 132/σ.
- Despejar σ: σ = 132 / 1,6449 ≈ 80,2 (1 decimal).
- Comprobación: con σ ≈ 80,2, el valor 632 está a (632 − 500)/80,2 ≈ 1,65 desviaciones típicas de la media, justo el z que deja un 5 % en la cola superior.
El proceso inverso con valores z es de los temas que más distinguen una buena nota de NM en la Prueba 2. Pautas que rinden marcas: (i) escribe siempre la probabilidad como acumulada por la izquierda antes de buscar el valor z —si el enunciado da una cola derecha, resta de 1—; (ii) usa la normal inversa estándar (μ = 0, σ = 1) para obtener z, no la inversa con los parámetros del problema; (iii) plantea explícitamente la ecuación z = (x − μ)/σ y despeja con cuidado, manteniendo el signo del valor z; (iv) conserva los valores z con al menos cuatro cifras decimales durante el cálculo y redondea solo el resultado final; (v) termina siempre con una comprobación de sentido: si el valor x estaba en la cola inferior, la media debe quedar por encima de él, y al revés. Y recuerda la lectura conceptual del valor z: el número de desviaciones típicas que separan una observación de su media, la idea que conecta este subtema con la regla empírica de 4.9.