Ya sabes que ∫y dx mide el área entre una curva y el eje x. Pero la integral es una herramienta mucho más versátil que eso: con el mismo principio de «cortar en rebanadas finas y sumar» se mide el área de regiones que se describen mejor en horizontal, y —el salto realmente sorprendente— el volumen de cuerpos tridimensionales. Una integral, que es una suma de cantidades unidimensionales, acaba calculando algo de tres dimensiones.
La clave está en elegir bien la rebanada. Para un área respecto del eje y, la rebanada es una franja horizontal de anchura x y grosor dy. Para un volumen de revolución, la rebanada es un disco circular: un cilindro infinitamente fino cuyo radio lo marca la curva. En ambos casos la integral hace lo de siempre —sumar infinitas rebanadas finas—; lo único que cambia es qué representa cada rebanada.
Áreas respecto del eje y
Cuándo integrar respecto de y
Hasta ahora has integrado «en vertical»: el área bajo y = f(x) entre x = a y x = b es ∫ab y dx, una suma de rectángulos verticales de altura y y base dx. Pero algunas regiones piden lo contrario. Si quieres el área encerrada entre una curva y el eje y, te conviene cortar la región en franjas horizontales: cada franja tiene anchura x (la distancia de la curva al eje y) y grosor dy.
Área entre una curva y el eje y
El área de la región limitada por la curva, el eje y y las rectas horizontales y = c e y = d es
A = ∫cd x dy
donde la curva se ha escrito previamente como x = f(y). Los límites c y d son valores de y, no de x.
El paso técnico que más cuesta es despejar x. Si la curva viene dada como y = g(x), hay que invertirla: de y = x2 (con x ≥ 0) sale x = √y; de y = ex sale x = ln y. Y los límites de integración también cambian: si en x el intervalo era [0, 2], en y habrá que calcular qué valores de y corresponden a esos extremos.
Ejemplo 1 — área respecto del eje y. Hallar el área de la región limitada por la curva y = x2, el eje y y la recta y = 4, en el primer cuadrante.
- Despejamos x: como estamos en el primer cuadrante, x = √y.
- Límites en y: la región va desde y = 0 hasta y = 4.
- A = ∫04 √y dy = ∫04 y1/2 dy = [(2/3)y3/2]04.
- Evaluamos: (2/3)·43/2 = (2/3)·8 = 16/3 ≈ 5,33 unidades cuadradas.
Ejemplo 2 — curva exponencial. Hallar el área limitada por y = ex, el eje y, y las rectas y = 1 e y = e.
- Despejamos x: de y = ex sale x = ln y.
- Límites: y = 1 e y = e.
- A = ∫1e ln y dy. Por la primitiva ∫ln y dy = y ln y − y (vista en 5.16 por partes).
- Evaluamos: [y ln y − y]1e = (e·1 − e) − (1·0 − 1) = 0 − (−1) = 1 unidad cuadrada.
Error frecuente
Integrar x dy pero dejando la curva en la forma y = g(x). No puedes evaluar ∫x2 dy: si el diferencial es dy, el integrando tiene que estar escrito en función de y. Hay que despejar la x primero. El segundo error gemelo es conservar los límites en x: si la integral es respecto de y, los límites son valores de y. Confundir [0, 2] (en x) con [0, 4] (en y) en el Ejemplo 1 da 8/3 en vez de 16/3.
Volúmenes de revolución
El método de los discos
Imagina la región bajo y = f(x) entre x = a y x = b, y hazla girar 360° alrededor del eje x. Cada punto describe una circunferencia y la región barre un sólido. Para medir su volumen, lo cortamos en rebanadas perpendiculares al eje x: cada rebanada es un disco circular finísimo de radio igual a la altura de la curva, y, y grosor dx. El volumen de un disco es área de la base × grosor = πy2 dx. Sumando todos los discos con una integral:
Volúmenes de revolución
Giro alrededor del eje x:
V = π ∫ab y2 dx
Giro alrededor del eje y:
V = π ∫cd x2 dy
El radio del disco es siempre la distancia de la curva al eje de giro. Si giras alrededor del eje x, el radio es y; si giras alrededor del eje y, el radio es x. Y el grosor del disco es el diferencial del eje de giro.
Fíjate en que el integrando lleva el radio al cuadrado: viene del área del círculo πr2. Es el origen de un error muy típico: escribir π∫y dx en lugar de π∫y2 dx.
Ejemplo 3 — volumen de un cono por integración. La recta y = x/2 gira alrededor del eje x entre x = 0 y x = 6. Hallar el volumen del sólido (un cono).
- Radio del disco: y = x/2, así que y2 = x2/4.
- V = π∫06 (x2/4) dx = (π/4)∫06 x2 dx = (π/4)[x3/3]06.
- Evaluamos: (π/4)·(216/3) = (π/4)·72 = 18π ≈ 56,5 unidades cúbicas.
- Comprobación geométrica: el cono tiene radio de base r = 6/2 = 3 y altura h = 6. La fórmula clásica (1/3)πr2h da (1/3)π·9·6 = 18π. ✓ La integral reproduce la fórmula del cono.
Ejemplo 4 — giro alrededor del eje y. La región limitada por y = x2, el eje y y la recta y = 4 (primer cuadrante) gira alrededor del eje y. Hallar el volumen.
- El radio del disco es x, y necesitamos x2 en función de y. De y = x2 sale directamente x2 = y.
- Límites en y: de 0 a 4.
- V = π∫04 x2 dy = π∫04 y dy = π[y2/2]04.
- Evaluamos: π·(16/2) = 8π ≈ 25,1 unidades cúbicas.
Ejemplo 5 — giro de una curva trigonométrica. La curva y = √(sen x) gira alrededor del eje x entre x = 0 y x = π. Hallar el volumen.
- El radio es y = √(sen x), por tanto y2 = sen x —la raíz desaparece al elevar al cuadrado, que es justo lo que pide la fórmula—.
- V = π∫0π sen x dx = π[−cos x]0π.
- Evaluamos: π(−cos π − (−cos 0)) = π(−(−1) + 1) = π(1 + 1) = 2π ≈ 6,28 unidades cúbicas.
| Magnitud | Eje x | Eje y |
|---|---|---|
| Área entre curva y eje | A = ∫y dx | A = ∫x dy |
| Volumen de revolución | V = π∫y2 dx | V = π∫x2 dy |
| Radio de la rebanada | y (altura de la curva) | x (distancia al eje y) |
| Cómo escribir la curva | y = f(x) | x = f(y) |
| Los límites son valores de | x | y |
En NS los volúmenes de revolución son una pregunta habitual de la Prueba 2 (calculadora permitida). Reflejos clave: (i) el integrando lleva el radio al cuadrado —no olvides el cuadrado ni el factor π—; (ii) decide el eje de giro antes de escribir la integral, porque determina si integras dx o dy y qué variable hay que despejar; (iii) si el enunciado da la curva con una raíz, como y = √(sen x), elévala al cuadrado: la raíz desaparece y el integrando se simplifica —es una pista de que vas bien—; (iv) en la Prueba 2 puedes evaluar la integral con la calculadora gráfica, pero plantéala simbólicamente en la hoja, porque los esquemas dan marca por la integral correctamente planteada aunque el número final se redondee.