Notación, símbolos y vocabulario clave del syllabus IB Math: Aplicaciones e Interpretación NM+NS, organizados por sub-bloque
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Cuando no existe primitiva elemental, cuando solo tenemos datos tabulados o cuando queremos un control claro del error.
Para n = −1, la fórmula xⁿ⁺¹/(n+1) divide entre 0. La primitiva de 1/x es ln|x| + C (no una potencia).
a(t) = dv/dt = d²s/dt². Tasa de cambio de la velocidad. Vector.
Encontrar los coeficientes de un modelo que minimizan el error frente a los datos observados (mínimos cuadrados con la calculadora).
Construye el AGM seleccionando aristas en orden creciente de peso, descartando las que formen ciclo. Greedy y óptimo.
Regla de Simpson (no IB AI), rectángulos (Riemann) o integración numérica directa con calculadora (fnInt). El trapecio es el estándar IB AI.
Devolución gradual de un préstamo mediante pagos periódicos. Cada cuota se descompone en intereses (sobre el saldo pendiente) y principal (lo que reduce la deuda). Al inicio del préstamo casi todo es interés; al final, casi todo es principal.
h = (b − a)/n. Distancia entre nodos consecutivos. Más nodos (n grande) ⇒ h pequeño ⇒ mejor aproximación.
Ángulo formado por dos radios con vértice en el centro de la circunferencia. Determina la longitud del arco que abarca.
Ángulo entre la horizontal y la línea de visión hacia un objeto situado por debajo del observador.
Ángulo entre la horizontal y la línea de visión hacia un objeto situado por encima del observador.
cos θ = (u · v) / (|u|·|v|). Si u · v = 0, son perpendiculares (θ = 90°).
Ángulo agudo entre una recta y un plano, medido entre la recta y su proyección sobre el plano.
Funciones inversas que devuelven el ángulo dado una razón. En la calculadora: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹. Cuidado con el modo (grados/radianes).
Sucesión de pagos iguales realizados a intervalos regulares. Pueden ser pagos que entran (un plan de ahorro: aportas X€/mes durante n años) o pagos que salen (un préstamo: pagas X€/mes durante n años). En IB Math AI todas las anualidades son «vencidas» (pago al final del periodo).
La esperanza se usa para calcular ganancias esperadas en juegos, valoración de loterías, valor esperado de pólizas, etc.
Áreas entre curvas, volúmenes de revolución, longitudes de arco, valor medio de una función, trabajo en física.
Permite construir intervalos de confianza y hacer contrastes de hipótesis incluso si la población no es normal, siempre que n sea grande.
Subconjunto de aristas que conecta todos los vértices con peso total mínimo y sin ciclos. Algoritmos: Kruskal y Prim.
Porción de circunferencia entre dos puntos. L = (θ/360°)·2πr (grados) o L = r·θ (radianes).
Si f(x) ≥ 0 en [a, b], el área bajo la gráfica entre x = a y x = b es ∫_a^b f(x) dx.
|u × v| = |u|·|v|·sen θ. El módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por u y v.
A = (1/2)·r²·θ con θ en radianes. Una vez más, los radianes simplifican la fórmula.
A = (1/2)·a·b·sen C. Requiere dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Si x = g(y), el área entre la curva y el eje y entre y = c y y = d es ∫_c^d g(y) dy. Útil cuando es más fácil expresar x en función de y.
Ángulo que forma el vector que representa z con el eje real positivo, medido típicamente en radianes (TANS 1.13). En esta sección basta saber que existe y es único en [0, 2π) o en (−π, π] según convención.
Segmento o semirrecta de mediatriz que separa dos celdas vecinas en el diagrama. Sus puntos son equidistantes de los dos sitios.
Recta y = L a la que se aproxima f(x) cuando x → ±∞. Indica el comportamiento límite de la función.
Recta x = a a la que se aproxima la gráfica cuando x → a (típicamente por un cero del denominador o un logaritmo con argumento → 0⁺).
Función de probabilidad puntual: P(X = k) = C(n, k)·p^k·(1 − p)^(n−k). Calculadora: binompdf(n, p, k).
Representación esquemática mostrando puntos clave (cortes con ejes, asíntotas, vértices, comportamiento extremo) sin precisión métrica.
Proceso estocástico cuya transición depende solo del estado actual (sin memoria). Modela clima, mercados, web links.
Cadena cuya matriz de transición T tiene Tⁿ con todas las entradas positivas para algún n. Tiene un único estado estacionario.
Pasos: (1) escribir y = f(x), (2) intercambiar x ↔ y, (3) despejar y, (4) renombrar como f⁻¹(x). Solo válido si f es inyectiva.
log_a(x) = log_b(x) / log_b(a). Permite calcular un logaritmo en cualquier base con una calculadora que solo tiene log (base 10) y ln (base e). No aparece como propiedad numerada en TANS 1.9 pero es un corolario práctico.
Forma de la distribución normal: simétrica con máximo en la media. La «forma» que vemos al graficar f(x) de una normal.
Representación gráfica de los vectores (1, f(x, y)) en una EDO dy/dx = f(x, y). Indican la pendiente solución en cada punto.
Valor máximo al que tiende un modelo logístico cuando t → ∞. Representa el límite que el entorno impone al crecimiento.
Al aplicar el teorema del seno con SSA (dos lados y un ángulo no comprendido), pueden existir 0, 1 o 2 triángulos solución. Hay que comprobar todos los casos.
Región del plano formada por todos los puntos más cercanos a un sitio dado que a cualquier otro sitio. Son polígonos convexos.
Valor de x que hace cero un polinomio: si P(x₀) = 0, entonces x₀ es un cero (o raíz) del polinomio. Los dos términos son sinónimos en la terminología oficial del IB Math AI.
Número de dígitos que se conservan después de la coma decimal. 3,7849 a 2 d.p. = 3,78. La abreviatura inglesa d.p. (decimal places) es la que usa el IB en los esquemas de calificación.
Número total de dígitos relevantes contados desde la primera cifra distinta de cero. 0,00450 tiene 3 s.f. (4, 5 y el cero final). La abreviatura inglesa s.f. (significant figures) es la usada en el IB.
Movimiento descrito por r(t) = r₀ + t·v. Velocidad v = dr/dt; aceleración a = dv/dt. Permite seguir trayectorias en R³.
Recorrido cerrado que visita cada vértice exactamente una vez. Determinar su existencia es NP-completo (problema difícil).
Circunferencia de radio 1 centrada en el origen. El punto extremo del radio en ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sen θ).
Punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
Los valores propios de la jacobiana determinan el tipo de equilibrio: ambos reales positivos → nodo inestable; reales negativos → nodo estable; complejos → espiral.
(f(x+h) − f(x))/h. Pendiente de la recta secante. Al hacer h → 0, se convierte en la derivada (recta tangente).
El factor a en a × 10^k. Debe cumplir 1 ≤ a < 10 para que el número esté escrito en forma canónica. También se denomina mantisa o significando.
Proporción de la varianza de y explicada por el modelo. R² = 1 − SSres/SStot. R² ∈ [0, 1]; más alto = mejor ajuste.
Mide fuerza y dirección de la asociación LINEAL entre dos variables cuantitativas. r ∈ [−1, 1]. |r| cerca de 1 = correlación fuerte.
aX + bY: E = a·E(X) + b·E(Y); si X, Y independientes: Var = a²·Var(X) + b²·Var(Y).
Coordenadas (a, b) o (a, b, c) que definen un vector en términos de la base canónica. Operaciones se hacen componente a componente.
Aplicar dos transformaciones consecutivas = multiplicar sus matrices en orden inverso: T₂ ∘ T₁ ↔ M₂·M₁. El orden importa (no conmutativo).
(f ∘ g)(x) = f(g(x)). Aplicar primero g y después f al resultado. NO es conmutativa: en general f ∘ g ≠ g ∘ f.
Reposición: cada extracción mantiene la composición original (independencia). Sin reposición: cambia (cada extracción afecta a la siguiente).
f″(x) < 0 ⇔ f es cóncava hacia abajo (forma «∩»). La pendiente está decreciendo.
f″(x) > 0 en un intervalo ⇔ f es cóncava hacia arriba (forma «∪»). La pendiente está creciendo.
Valor concreto (típicamente F(x₀) = y₀) que fija la constante C y determina una primitiva única.
Si z = a + bi, su conjugado z̄ = a − bi. Es la reflexión de z respecto al eje real. Cumple z·z̄ = a² + b² = |z|² y aparece sistemáticamente al dividir complejos en forma cartesiana.
Cono cuyo eje es perpendicular a la base. V = (1/3)·π·r²·h. Área lateral: π·r·g (g = generatriz).
Toda primitiva está definida salvo una constante: si F es primitiva, F + C también lo es. Sin condición inicial, hay que escribir + C.
Llamadas a centralitas, defectos en superficie, mutaciones genéticas, llegadas a urgencias, errores tipográficos. Eventos «raros e independientes».
Una función por tramos es continua en el punto de empalme si los valores de los dos tramos coinciden en él (límite por la izquierda = por la derecha).
Test para decidir si r poblacional es 0 o no. H₀: ρ = 0; H₁: ρ ≠ 0. Estadístico basado en r y n.
El IB asume siempre que los pagos se hacen al FINAL de cada periodo, no al principio. Esta convención afecta a la fórmula y a la entrada en la TVM Solver (parámetro «END» en lugar de «BEGIN»). Los productos reales pueden ser de cualquier modalidad.
Propiedad de una serie infinita cuyas sumas parciales Sₙ tienden a un número finito cuando n → ∞. Una serie geométrica converge si y solo si |r| < 1; ese es el resultado central de TANS 1.11.
rad = grados × π/180. grados = rad × 180/π. Ángulos notables: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π.
Que dos variables estén correlacionadas no implica que una cause la otra. Puede haber una tercera variable común o una coincidencia.
Intervalo de valores reales compatibles con una medida redondeada. Si x = 4,1 a 1 d.p., el valor exacto satisface 4,05 ≤ x < 4,15. Las cotas son siempre la mitad de la unidad de redondeo a cada lado.
Estimaciones del peso óptimo del TSP. Cota inferior: suma de los pesos del AGM. Cota superior: cualquier circuito heurístico válido.
EDO dy/dt = k·y. Solución y(t) = y₀·eᵏᵗ. Modela crecimiento sin restricciones (sí lo limitan los logísticos).
En un crítico x = a: si f′ cambia + → −, hay máximo; si − → +, mínimo; si no cambia, punto de inflexión horizontal.
En un crítico (f′ = 0): si f″ > 0 → mínimo; si f″ < 0 → máximo; si f″ = 0, el criterio no concluye.
Instrumento estructurado de preguntas. La calidad depende del diseño: preguntas claras, sin sesgo de redacción, opciones exhaustivas y excluyentes.
Trayectoria que sigue una solución concreta de la EDO. Es tangente al campo de direcciones en cada punto.
Pares (x, y) donde cada individuo aporta dos medidas. Se analiza la posible relación entre las dos variables.
Discretos: valores aislados (nº de hijos, goles). Continuos: cualquier valor en un intervalo (altura, tiempo). Determinan el tipo de gráfico.
Progresión geométrica con 0 < r < 1: cada término es una fracción del anterior. Modela desintegración radiactiva, descarga de un condensador, depreciación de un activo o eliminación de un fármaco del organismo.
Dirección expresada como un ángulo medido desde el norte en sentido horario (000° a 360°). Usado en navegación.
Pérdida de valor de un activo (coche, maquinaria, dispositivo) a un porcentaje fijo del saldo restante cada periodo. Es interés compuesto con tasa negativa: FV = PV·(1 − r/(100k))^(kn).
Aplicación término a término de regla de la potencia + regla de la suma. f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ ⇒ f′(x) = n·aₙxⁿ⁻¹ + … + a₁.
(d/dx)(c) = 0. Las constantes no cambian, por eso su tasa de cambio es 0.
f′(x) = lim_{h→0} (f(x+h) − f(x))/h. Tasa instantánea de cambio. Geométricamente, pendiente de la recta tangente.
(eˣ)′ = eˣ; (ln x)′ = 1/x; (sen x)′ = cos x; (cos x)′ = −sen x. Memorizar de memoria.
En y = A·sen(B(x − C)) + D, el parámetro C es el desfase horizontal: indica dónde empieza el ciclo. C > 0 desplaza el seno hacia la derecha.
Δs = ∫_a^b v(t) dt. El desplazamiento entre dos instantes es la integral de la velocidad (con signo).
Posición de un móvil respecto a un origen, en función del tiempo. Puede ser positivo o negativo según el sentido.
σ = √(Σ(xᵢ − x̄)²/n). Promedio cuadrático de las distancias a la media. Indica dispersión: σ pequeño → datos concentrados.
Número escalar asociado a una matriz cuadrada. Mide cuánto la matriz «estira» el área (o el volumen) al actuar como transformación. det(A) = 0 indica que A no tiene inversa. Para 2×2: det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc.
|det(A)| es el factor de escalado de áreas al aplicar A. det > 0 conserva orientación; det < 0 la invierte; det = 0 colapsa (no invertible).
Proceso de reescribir una matriz A en la forma A = PDP⁻¹, donde D es diagonal (los valores propios en la diagonal) y P es la matriz cuyas columnas son los vectores propios correspondientes. Solo posible si A tiene valores propios reales y distintos en NM 1.15.
Plano cartesiano donde cada complejo z = a + bi se representa como el punto (a, b). El eje horizontal es el eje real; el vertical, el eje imaginario. Permite ver geométricamente operaciones que en cartesiana son puramente algebraicas.
Resumen visual de mín · Q1 · mediana · Q3 · máx. Outliers como puntos aislados fuera de los bigotes. Bueno para comparar distribuciones.
Gráfico de puntos (xᵢ, yᵢ) en el plano. Permite visualizar la posible relación entre dos variables antes de calcular r.
Grafo dirigido y ponderado donde cada nodo es un estado y cada arista es una probabilidad de transición. Equivalente visual de la matriz T.
Partición del plano en celdas, una por cada sitio, formadas por todos los puntos más cercanos a ese sitio que a cualquier otro. Aplicaciones: dominio de hospitales, antenas, escuelas.
Dibujo del problema con todos los lados y ángulos etiquetados con sus valores conocidos. Paso esencial antes de plantear la trigonometría.
Representar la gráfica respetando escalas y coordenadas concretas, en contraste con el bosquejo. En IB se usa «sketch» para bosquejo y «draw» para precisión.
Plan para recoger datos: qué medir, cómo, con qué tamaño de muestra. Un buen diseño minimiza el sesgo y maximiza la representatividad.
d(A, B) = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²). Generalización de Pitágoras al espacio tridimensional.
Mínimo de la distancia D(t) entre dos móviles. Se calcula minimizando D²(t) (evita derivar la raíz) e igualando D′²(t) = 0.
∫_a^b |v(t)| dt. Suma de tramos (siempre positivos). Diferente del desplazamiento si hay cambios de sentido.
Número de éxitos X en n ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad p. X = 0, 1, …, n.
Modela el número de eventos en un intervalo fijo (tiempo, espacio) con tasa media λ. X = 0, 1, 2, …
Lista de los valores que toma una VA junto con sus probabilidades. Para una VAD, debe cumplir Σ P(X = xᵢ) = 1.
Si las VAs son independientes con media μ y varianza σ²: x̄ ~ N(μ, σ²/n) para n grande (por TCL).
Distribución continua simétrica en forma de campana. Media μ, varianza σ². Modela muchos fenómenos naturales (alturas, errores).
Distribución donde la mitad izquierda es imagen especular de la derecha. Media ≈ mediana ≈ moda. La normal es el caso por excelencia.
Distribución simétrica como la normal pero con colas más pesadas (más probabilidad de valores extremos). Se usa cuando σ es desconocida y se estima con s.
Todos los valores tienen la misma probabilidad: P(X = xᵢ) = 1/n. Ej.: un dado equilibrado.
Una serie diverge si sus sumas parciales no tienden a ningún valor finito. Una geométrica diverge si |r| ≥ 1 (las sumas crecen sin tope, o si r = −1 oscilan sin estabilizarse).
Conjunto de valores de x para los que f(x) está definida. Se restringe por raíces de índice par (radicando ≥ 0), denominadores (≠ 0) y logaritmos (argumento > 0).
Dom(f ∘ g) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom(f)}. Hay que asegurar que g(x) caiga dentro del dominio de f.
Subconjunto del dominio matemático que tiene sentido en el problema (longitudes > 0, ángulos en [0°, 90°], etc.). Hay que respetarlo al optimizar.
Restricción del dominio matemático al dominio que tiene sentido físico (t ≥ 0, P ≥ 0, etc.). El modelo puede ser válido solo en una región.
Eliminando el parámetro λ de las paramétricas: (x − x₀)/d₁ = (y − y₀)/d₂ = (z − z₀)/d₃.
Ecuación que relaciona una función y(x) con sus derivadas: F(x, y, y′, y″, …) = 0. Su «solución» es la función y(x).
Ecuación de la forma aˣ = b donde la incógnita está en el exponente. Las tres propiedades de los logaritmos son la herramienta canónica para resolverla: aplicar log a los dos lados y despejar x.
Ecuación de la forma P(x) = 0 donde P es un polinomio. Por ejemplo, x² − 5x + 6 = 0 o 2x³ − x² + 4 = 0. Resolver una ecuación polinómica equivale a encontrar todos sus ceros reales.
r = a + λ·d, donde a es un punto fijo de la recta y d es un vector director. λ ∈ ℝ recorre toda la recta.
Ecuaciones que involucran sen θ, cos θ, tan θ. Se resuelven usando el círculo unidad para encontrar TODOS los ángulos solución en un intervalo dado.
Involucra y″. Forma: a·y″ + b·y′ + c·y = f(x). Sus soluciones dependen de DOS constantes, ajustadas por dos condiciones iniciales.
dy/dx = f(x)·g(y) ⇒ dy/g(y) = f(x) dx. Se integra cada lado por separado para hallar y como función de x.
Antes de graficar hay que etiquetar los ejes (x, y con su unidad) y elegir una escala que muestre todos los rasgos importantes (cortes, extremos, asíntotas).
En Paper 3 NS, la EDO se da en el enunciado. El alumno la analiza (separable o no, lineal o no), resuelve y/o usa Euler, e interpreta físicamente.
Decidir el tipo de función a ajustar según la forma de los datos: lineal si crecimiento constante, exponencial si tasa porcentual constante, sinusoidal si periódico, etc.
Cuando dos o más datos tienen el mismo valor, se les asigna la media de los rangos que ocuparían (ej.: 5,5 si empatan en 5º y 6º puesto).
Resolver con álgebra y derivadas exactas en lugar de leer valores de la calculadora. En IB se pide ambos enfoques según el contexto.
Las EDOs lineales con coeficientes constantes generan soluciones con eˣ, sen x, cos x → conexión natural con la forma polar de complejos.
El análisis de estabilidad de equilibrios en EDOs lineales usa exactamente la maquinaria de autovalores de matrices estudiada en 1.15.
Experimento con dos resultados: éxito (probabilidad p) o fracaso (1 − p). Es el bloque básico de la binomial.
Ensayo (experiment): una realización del experimento. Resultado (outcome): lo que se obtuvo. Suceso: conjunto de resultados.
Propiedad de un punto que está a la misma distancia de dos o más puntos de referencia. Define mediatrices (2 puntos) y diagramas de Voronoi (n puntos).
Error proporcional a h². Reducir h a la mitad reduce el error a aproximadamente un cuarto.
Desviación típica de la distribución de x̄. SE = σ/√n. Decrece con √n: muestras más grandes dan estimaciones más precisas.
Rechazar H₀ siendo verdadera (falso positivo). Su probabilidad es α (nivel de significación elegido).
No rechazar H₀ siendo falsa (falso negativo). Reducir β requiere muestra mayor o efecto más grande. 1 − β es la potencia del test.
Escala numérica donde cada paso multiplica (no suma) por un factor fijo. La escala Richter, los decibelios y el pH son ejemplos: pasar de pH 5 a pH 4 multiplica por 10 la concentración de iones H⁺.
V = (4/3)·π·r³. Superficie: 4π·r². Una semiesfera tiene la mitad del volumen y 2π·r² de superficie curva.
Todos los resultados elementales tienen la misma probabilidad. P(A) = casos favorables / casos posibles (regla de Laplace).
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Para un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Valor medio teórico: E(X) = Σ xᵢ·P(X = xᵢ). Es lo que esperarías «en promedio» tras muchas repeticiones.
En una cadena de Markov, vector estado π tal que T·π = π. Es el vector propio asociado al valor propio λ = 1 (con la normalización de que sus componentes sumen 1). Modela la distribución de equilibrio a largo plazo.
z = (x − μ)/σ. Convierte una normal cualquiera en la normal estándar N(0, 1) para usar tablas o invNorm.
Estadístico (función de los datos) usado para estimar un parámetro poblacional. Ej.: x̄ estima μ; s² estima σ².
Estimador cuya esperanza coincide con el parámetro que estima. x̄ es insesgado para μ; s² con n − 1 es insesgado para σ².
y = f(q·x) comprime horizontalmente por factor q si |q| > 1, estira si 0 < |q| < 1. Si q < 0 incluye reflexión respecto al eje y.
y = p·f(x) multiplica las ordenadas por p. Si |p| > 1 estira; si 0 < |p| < 1 comprime; si p < 0 refleja respecto al eje x además.
Vector de probabilidades en el instante n: sₙ = Tⁿ · s₀. Permite predecir cuotas a corto y largo plazo.
El número entero k en a × 10^k. Indica cuántas posiciones se mueve la coma decimal: k > 0 corresponde a un número grande, k < 0 a un número pequeño.
Número entero n (positivo, negativo o cero) que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Si es negativo, equivale al inverso multiplicativo: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Si es cero, a⁰ = 1 para todo a ≠ 0.
a^(-r) = 1/a^r para todo r racional con a ≠ 0. La regla generaliza la P5 de NM 1.5 a exponentes racionales.
Exponente expresado como una fracción m/n con m, n enteros y n ≠ 0. Da sentido a expresiones como 5^(1/2), 27^(2/3) o x^(-3/4).
Predecir valores de y para x fuera del rango de los datos observados. Menos fiable que la interpolación: el modelo puede dejar de ser válido.
Todo extremo (máx/mín) es crítico, pero no todo crítico es extremo (ej.: f(x) = x³ en 0 tiene f′ = 0 pero no es extremo).
Indica que f está decreciendo. La pendiente de la tangente es negativa.
Pendiente horizontal: candidato a máximo, mínimo o punto de silla. Hay que comprobar con el criterio de la primera o segunda derivada.
Indica que f está creciendo. Geométricamente: la pendiente de la tangente es positiva.
Representación compleja de una señal sinusoidal en estado estacionario. La amplitud A y la fase φ de una señal A·cos(ωt + φ) se codifican como el complejo A·e^(iφ). Sumar señales sinusoidales de la misma frecuencia se reduce a sumar sus fasores como vectores.
Grado en que el instrumento produce resultados consistentes al repetirse. Se mide con tests-retest, formas paralelas o consistencia interna.
a^(m/n) puede leerse de dos formas equivalentes: (a^(1/n))^m = (ⁿ√a)^m o (a^m)^(1/n) = ⁿ√(a^m). Para cálculo a mano, suele convenir extraer primero la raíz (números más pequeños) y elevar después.
Un número complejo se escribe z = a + bi con a, b ∈ ℝ. La parte real es Re(z) = a; la parte imaginaria es Im(z) = b (atención: b, no bi).
z = r·e^(iθ). Es la forma más compacta y la más útil para multiplicar y elevar potencias. La fórmula de Euler conecta exponencial compleja con seno y coseno: e^(iθ) = cosθ + i·senθ.
ax + by + c = 0 con a, b, c constantes (a y b no ambos cero). Útil para rectas verticales y para sistemas lineales.
x = x₀ + λ·d₁; y = y₀ + λ·d₂; z = z₀ + λ·d₃. Equivalente componente a componente de la ecuación vectorial r = a + λ·d.
y = mx + b, con m la pendiente y b la intersección con el eje y. Es la forma más cómoda para graficar.
Un complejo se puede escribir como z = r(cosθ + i·senθ) = r·cisθ, donde r = |z| es el módulo y θ = arg(z) es el argumento. Captura el módulo y el ángulo en una sola expresión.
y − y₁ = m·(x − x₁). Recta que pasa por (x₁, y₁) con pendiente m. Atajo cuando conoces un punto y la pendiente.
y − y₀ = m·(x − x₀). Atajo para escribir la ecuación de la tangente conocidos el punto de tangencia y la pendiente.
Dos versiones equivalentes del mismo test. Si correlacionan alto, el test es fiable entre formas (descarta efecto memoria).
e^(iθ) = cosθ + i·senθ. Es la identidad que une las dos representaciones polar y exponencial. Su caso particular más célebre es la identidad de Euler: e^(iπ) + 1 = 0, que reúne cinco constantes fundamentales (0, 1, i, π, e).
rs = 1 − (6·Σdᵢ²) / (n·(n² − 1)), con dᵢ = diferencia de rangos del individuo i. Válida cuando no hay muchos empates.
∫_a^b f(x) dx ≈ (h/2)·(f(x₀) + 2(f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)) + f(xₙ)), con h = (b − a)/n y xᵢ los nodos equiespaciados.
Cuando |r| < 1, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica vale S∞ = u₁/(1−r). Se obtiene como límite de Sₙ cuando n → ∞: el término rⁿ tiende a 0, y queda u₁/(1−r).
Para arcos y sectores, la fracción θ/360° (o θ/(2π) en rad) indica qué proporción del círculo completo representa.
Figura geométrica autoreferente cuya construcción iterada genera longitudes infinitas con áreas finitas (copo de Koch) o estructuras con dimensión no entera. Se conecta con las series infinitas porque sus magnitudes son sumas geométricas: convergentes para el área, divergentes para el perímetro.
Suma corrida de las frecuencias hasta cada valor o intervalo. Su gráfico (ojiva) permite leer percentiles y mediana.
Número de periodos de capitalización por año: 1 = anual, 2 = semestral, 4 = trimestral, 12 = mensual, 365 = diaria. A mayor k, mayor FV (para la misma r y n).
fr = nº veces que ocurre A / nº total de pruebas. Estima la probabilidad cuando el número de pruebas es grande (ley de los grandes números).
Regla que asigna a cada x del dominio un único valor y = f(x). Cada entrada tiene UNA y solo una salida.
f es creciente en un intervalo ⇔ f′(x) > 0 en él. La función «sube» al aumentar x.
P(X = k) = (λ^k · e^(−λ)) / k!. En Poisson: E(X) = Var(X) = λ.
f es decreciente en un intervalo ⇔ f′(x) < 0 en él. La función «baja» al aumentar x.
Función que «deshace» f: f⁻¹(f(x)) = x. Se obtiene intercambiando x ↔ y y despejando. Solo existe si f es inyectiva.
Cada y proviene de un único x: si f(a) = f(b), entonces a = b. Equivale a pasar el test de la línea horizontal. Condición necesaria para que exista inversa.
Función a maximizar o minimizar (área, coste, volumen). Se expresa en términos de una sola variable usando las restricciones.
Función definida por reglas diferentes en intervalos distintos del dominio. Típicamente lineales por tramo (tarifas eléctricas, escalones impositivos).
Graphic Display Calculator. Herramienta obligatoria en IB Math AI: TI-84/Nspire, Casio fx-CG, HP Prime. Sus funciones de resolver sistemas y de encontrar ceros polinómicos son la vía oficial de solución en NM 1.8.
Número de aristas incidentes en el vértice. En grafos dirigidos se distingue grado de entrada y grado de salida.
En una tabla de contingencia de r filas y c columnas: df = (r − 1)·(c − 1). Determina el valor crítico de χ².
Dos sistemas de medida angular: 360° = 2π rad. Para conversión: rad = grados × π/180. NM usa grados; NS introduce radianes.
Conjunto de puntos (x, f(x)) en el plano. Permite ver dominio, recorrido, ceros, máximos/mínimos y comportamiento asintótico de un vistazo.
Ambos ejes en escala logarítmica. Convierte funciones potenciales y = a·x^b en rectas, con pendiente igual a b.
Gráfico con eje y en escala logarítmica y eje x lineal. Convierte exponenciales y = a·b^x en rectas, facilitando el ajuste.
Estructura matemática G = (V, E) con vértices V conectados por aristas E. Modela redes (transporte, social, web).
Grafo de n vértices donde cada par está conectado por una arista. Tiene n(n−1)/2 aristas.
Existe un camino entre cualquier par de vértices. Si no, el grafo se divide en componentes conexas.
Cada arista tiene un sentido (i → j). La matriz de adyacencia no es simétrica en general.
H₀: hipótesis por defecto (no hay efecto, no hay relación). H₁: lo que queremos demostrar. El test rechaza H₀ o no, nunca la «prueba».
Diagrama de barras para datos continuos agrupados en intervalos. La altura de cada barra refleja la frecuencia del intervalo.
Dilatación con factor k respecto al origen: H = [[k,0],[0,k]]. Escala distancias por |k|; si k < 0 incluye reflexión por el origen.
e^(iπ) + 1 = 0. La «ecuación más bella de la matemática» (Feynman). Liga las cinco constantes más importantes (0, 1, e, i, π) con las tres operaciones elementales (suma, multiplicación, exponenciación).
sen²θ + cos²θ = 1. Consecuencia directa del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo del círculo unidad.
Si u = g(x): ∫ f(g(x))·g′(x) dx = ∫ f(u) du. Reduce integrales complicadas a otras conocidas.
∫_a^b f(x) dx. Número (no función) que representa el área neta entre la curva y el eje x en el intervalo [a, b].
En TI: fnInt(f, x, a, b). En Casio: ∫₀^∎ f(x) dx. Calcula integrales definidas numéricamente.
∫ f(x) dx = F(x) + C, donde F es una primitiva de f y C es la constante de integración.
Si f(x) < 0 en parte del intervalo, ∫f puede dar negativo (área «con signo»). Para área geométrica usar ∫|f|.
Modelo de capitalización donde los intereses se reinvierten cada periodo. El capital al final del año n es C₀·(1 + i)ⁿ, una progresión geométrica con r = 1 + i. A largo plazo crece mucho más rápido que el interés simple.
Modelo de capitalización en el que los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial, no sobre los intereses acumulados. Los saldos sucesivos forman una progresión aritmética con d = C₀·r/100 (siendo r el tipo anual). Contrasta con el interés compuesto, que sigue una progresión geométrica.
Aporta información cualitativa sobre el comportamiento de las soluciones (crece, oscila, se estabiliza) sin resolver la EDO explícitamente.
Suceso «A y B». Si A y B son independientes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B).
Puntos donde dos curvas y = f(x), y = g(x) tienen el mismo valor. Se encuentran resolviendo f(x) − g(x) = 0, que es una ecuación polinómica si f y g son polinomios. Es la aplicación más frecuente de NM 1.8 en exámenes.
Puntos donde la gráfica corta los ejes. Con el eje y: hacer x = 0. Con el eje x: hacer y = 0 (también llamados ceros o raíces).
Cortes con el eje x (raíces de f, donde f(x) = 0) y con el eje y (valor f(0)). Marcan límites y referencia de la gráfica.
Rango (a, b) que contiene el parámetro con confianza prefijada (típicamente 95 %). IC = x̄ ± t*·s/√n.
Curvas donde f(x, y) = constante. Sobre una isoclina, todas las soluciones tienen la misma pendiente.
Juego donde la esperanza de la ganancia es 0 (ganancia esperada = coste). Si E(ganancia) > 0 favorece al jugador; si < 0, a la banca.
En ∫_a^b f(x) dx = F(b) + C − (F(a) + C) = F(b) − F(a). Por eso solo se escribe C en integrales INDEFINIDAS.
A medida que n crece, x̄ converge a μ. La media muestral se aproxima al valor verdadero con muestras grandes.
lim_{x→a} f(x) = L. Valor al que se aproxima f(x) cuando x se acerca a a. Concepto base del cálculo diferencial e integral.
Si el integrando es f(ax + b), una sustitución u = ax + b lo reduce a (1/a)·∫ f(u) du. Caso común en exponenciales y trigonométricas.
a·y″ + b·y′ + c·y = 0. Solución general: combinación lineal de dos soluciones independientes. Modelo del oscilador armónico.
Transformar una relación no lineal en una lineal aplicando logaritmos u otras funciones invertibles. Permite usar regresión lineal estándar.
∫(1/x) dx = ln|x| + C. El valor absoluto extiende la primitiva al dominio negativo (donde 1/x está definido pero ln(x) no).
Operación inversa de la potencia. Si aˣ = b (con b > 0), entonces log_a(b) = x. El logaritmo devuelve el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número dado.
Logaritmo en base 10. Se escribe log(x) sin subíndice o log₁₀(x). Su utilidad principal es comprimir escalas: cada unidad de log₁₀ corresponde a un factor 10 en el número original.
Logaritmo en base e ≈ 2,71828… Se escribe ln(x) o log_e(x). Es la inversa de la función exponencial natural eˣ. Aparece de forma natural en crecimiento continuo, decaimiento radiactivo y muchos modelos de ciencia.
L = r·θ con θ en radianes. La fórmula es más simple que en grados porque el radián está calibrado para esto.
Sistema acoplado: dx/dt = α·x − β·x·y; dy/dt = δ·x·y − γ·y. Modela ciclos de presas y depredadores. Soluciones periódicas alrededor de un equilibrio.
Conjunto de puntos que cumplen una propiedad geométrica (ej.: lugar de puntos equidistantes de A y B = mediatriz de AB).
ME = t*·s/√n. Mitad del ancho del IC. Decrece con √n: cuadruplicar n reduce el ME a la mitad.
Tabla rectangular de números organizada en filas y columnas. Una matriz de orden m×n tiene m filas y n columnas y mn elementos. Se denota A = (aᵢⱼ), donde aᵢⱼ es el elemento de la fila i, columna j.
Matriz n×n donde a_ij = 1 si hay arista i→j, 0 si no (o el peso de la arista en grafos ponderados).
R(θ) = [[cos θ, −sen θ], [sen θ, cos θ]]. Rota un vector un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del origen.
Refleja respecto a una recta. Eje x: [[1,0],[0,−1]]; eje y: [[−1,0],[0,1]]; recta y = x: [[0,1],[1,0]].
Matriz cuadrada donde cada columna suma 1; t_ij = P(pasar al estado i | estar en estado j). Genera cadenas de Markov.
A⁻¹ es la matriz que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I. Existe solo si det(A) ≠ 0 (la matriz es invertible). Para 2×2: A⁻¹ = (1/det A)·[[d, −b], [−c, a]].
El mayor (menor) valor de f en TODO el dominio o intervalo dado. Hay que comparar valores en críticos y extremos.
f(a) ≥ f(x) para todos los x cerca de a. Si es estricto: f(a) > f(x) en un entorno. f′(a) = 0 y f′ cambia de + a −.
Puntos donde f alcanza un valor máximo o mínimo (local o absoluto). En NM se identifican con la calculadora; en NS con f′(x) = 0.
x̄ = Σxᵢ/n. Promedio aritmético. Sensible a outliers (a diferencia de la mediana).
E(X) = n·p. Número esperado de éxitos.
Valor central tras ordenar los datos. Si n es par, es el promedio de los dos centrales. Insensible a outliers.
Recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio. Lugar geométrico de los puntos equidistantes de los extremos.
Aproximación numérica de una EDO: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n). Construye la curva solución paso a paso.
Aproximar el sólido por discos delgados perpendiculares al eje. Cada disco contribuye π·r²·dx al volumen total.
f(a) ≤ f(x) cerca de a. Si es estricto: f(a) < f(x) en un entorno. f′(a) = 0 y f′ cambia de − a +.
Método de ajuste que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos: Σ(yᵢ − ŷᵢ)². Es la salida estándar de las regresiones.
Valor más frecuente. Puede no existir, ser única (unimodal), doble (bimodal) o múltiple. Útil para datos cualitativos.
Traducir un fenómeno real (decaimiento, crecimiento, enfriamiento, mezclas) a una EDO usando «tasa de cambio = …». Resolverla da el modelo.
y = ax² + bx + c. Apropiado cuando hay un máximo o mínimo (proyectiles, optimización). Calculadora: QuadReg.
y = ax³ + bx² + cx + d. Cuatro parámetros; flexible para datos con un cambio de curvatura. Calculadora: CubicReg.
y = A·b^x. Apropiado para crecimiento (b > 1) o decaimiento (0 < b < 1) constante por unidad. Calculadora: ExpReg.
y = mx + b. Apropiado cuando el cambio es constante por unidad de x. Calculadora: LinReg(ax+b) con tabla de datos.
y = a + b·ln(x) o y = a·log(x) + b. Útil cuando la salida crece muy despacio (saturación) frente a la entrada.
P(t) = L / (1 + A·e^(−kt)). Crecimiento sigmoidal con techo (capacidad de carga) L. Apropiado para epidemias, adopción de tecnología, crecimiento limitado.
Función que representa una situación real (crecimiento, decaimiento, oscilación…). Su utilidad depende de cuán bien capture los datos y permita predecir.
y = a·x^b. Útil cuando la relación se linealiza al tomar log de ambos lados: log y = log a + b·log x. Calculadora: PwrReg.
y = A·sen(B(x − C)) + D. A = amplitud, B determina el período T = 2π/B, C = desfase horizontal, D = valor medio. Calculadora: SinReg.
Sistema acoplado para Susceptibles, Infectados, Recuperados. dS/dt = −β·S·I; dI/dt = β·S·I − γ·I; dR/dt = γ·I. Base de epidemiología.
Distancia del punto z al origen en el plano complejo. Si z = a + bi, |z| = √(a² + b²). Es siempre no negativo y vale cero solo si z = 0.
|v| = √(a² + b² + c²). Mide la «longitud» del vector. Se conserva bajo rotaciones e isometrías.
Propiedad de ser solo creciente o solo decreciente en un intervalo. Una función estrictamente monótona es siempre inyectiva (invertible).
y″ + ω²·y = 0. Soluciones: y(t) = A·cos(ωt) + B·sen(ωt). Período T = 2π/ω. Modelo del muelle ideal.
Trayectoria recta con velocidad constante: r(t) = r₀ + t·v. La rapidez |v| no cambia.
Subconjunto de la población elegido para estudio. Sus estadísticos (x̄, s) estiman los parámetros poblacionales.
Muestra donde cada individuo de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. Reduce el sesgo de selección.
Ángulos expresados como fracción o múltiplo de π (π/6, π/4, π/3, π/2, π, 2π…). Son los valores «exactos» del círculo unidad.
Probabilidad de que el método produzca un IC que contenga el parámetro. 95 % es el estándar IB; significa que en 95 de cada 100 muestras, el IC contiene μ.
Probabilidad máxima admitida de rechazar H₀ siendo cierta (error tipo I). Estándar IB: α = 0,05 (5 %).
Forma estandarizada de escribir cualquier número real distinto de cero como a × 10^k, con 1 ≤ a < 10 y k entero. Permite trabajar con cantidades muy grandes o muy pequeñas con un coste cognitivo bajo y comparar magnitudes a simple vista.
Forma abreviada que utilizan las calculadoras y hojas de cálculo: 5.2E30 significa 5,2 × 10^30. NO se acepta como respuesta en el examen del IB; siempre hay que traducirla a la forma a × 10^k antes de escribirla.
Forma compacta de escribir sumas finitas usando la letra griega sigma mayúscula. La expresión Σᵢ₌₁ⁿ aᵢ significa a₁ + a₂ + … + aₙ. El índice i recorre los valores entre los límites inferior y superior.
f′(x), dy/dx, df/dx, ḟ (para tiempo). Todas significan lo mismo: la derivada de f respecto a su variable.
Gráfico de frecuencias acumuladas. Forma sigmoidal típica. Permite leer cuartiles y percentiles trazando líneas horizontales/verticales.
Encontrar máximo o mínimo de una función objetivo bajo restricciones. Estrategia: variable, función, derivar, igualar a 0.
El método de Euler tiene error global proporcional a h¹. Es de primer orden — los esquemas de orden 2 o más (Runge-Kutta) son más precisos.
En f ∘ g, la función interna es g (se aplica primero) y la externa es f. Leyendo de derecha a izquierda: g antes que f.
Potencia de 10 que sitúa un número en una escala. Aproximadamente equivale al exponente k de su forma a × 10^k cuando a está cerca de 1. Permite comparar tamaños sin calcular: dos números difieren en un orden de magnitud cuando uno es ~10 veces mayor que el otro.
y″ + γ·y′ + ω²·y = 0 con γ > 0. La amplitud decae exponencialmente. Modelo de péndulo con fricción.
Probabilidad de obtener un resultado tan o más extremo que el observado, suponiendo H₀ cierta. Si p < α → rechazar H₀.
Algoritmo de Google para ordenar páginas web. Es el vector propio principal de una matriz de transición sobre el grafo de enlaces.
Cantidad fija que se paga (o se aporta) cada periodo en una anualidad. En un préstamo, es la cuota; en un plan de ahorro, la aportación. Una vez determinado, NO cambia durante toda la vida del producto (tasa fija). PMT es la sigla inglesa de Payment.
Argumento clásico del filósofo Zenón de Elea: Aquiles nunca alcanza a la tortuga porque tiene que recorrer infinitos tramos sucesivos. La paradoja se «disuelve» con TANS 1.11: la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 + … converge a 1, en tiempo y distancia finitos.
Dos rectas son paralelas ⇔ misma pendiente (m₁ = m₂). Perpendiculares ⇔ m₁·m₂ = −1 (pendientes opuestas e inversas).
Escalar real que recorre toda la recta en r = a + λ·d. λ = 0 da el punto base a; λ > 0 y λ < 0 dan los dos sentidos.
Tasa media de ocurrencia en el intervalo dado. λ debe ser positivo. Si se cambia el intervalo, λ escala proporcionalmente.
Tamaño del intervalo entre nodos consecutivos. h pequeño ⇒ más precisión y más pasos. Error ∝ h.
En un punto (a, f(a)), la pendiente de la curva es f′(a): la pendiente de la recta tangente en ese punto.
En un gráfico log-log de y = a·x^b, la pendiente de la recta resultante es exactamente b. Permite leer el exponente directamente de la gráfica.
Inclinación de una recta: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Positiva = sube, negativa = baja, cero = horizontal, indefinida = vertical.
Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90°. En el plano: m₁·m₂ = −1 (pendientes opuestas e inversas).
u ⊥ v ⇔ u · v = 0. Equivale a que el coseno del ángulo entre ellos sea cero.
Un punto P pertenece a la recta r = a + λ·d ⇔ existe un λ que cumple r = P al sustituir. Resolver el sistema componente a componente.
Aplicaciones del logaritmo en Química: pH = −log₁₀[H⁺] (NM 1.5), ecuación de Henderson-Hasselbalch para tampones, ecuación de Arrhenius (energía de activación). Todas usan las propiedades de TANS 1.9 al despejar.
Pirámide cuyo vértice está justo encima del centro de la base. Volumen V = (1/3)·A_base·h.
Conjunto completo de individuos sobre los que queremos hacer inferencia. Sus parámetros (media μ, σ) son los objetivos del estudio.
Poisson aproxima B(n, p) cuando n grande y p pequeño con λ = n·p constante. Regla: n ≥ 50 y p ≤ 0,1.
Polinomio en λ que se obtiene de det(A − λI) = 0. Para una matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], es λ² − (a+d)λ + (ad−bc) = 0, es decir λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0. Sus raíces son los valores propios.
Si hay producto función × derivada visible → sustitución. Si hay producto sin relación → producto. Polinomio: directa.
La normal aparece cuando un fenómeno es la suma de muchas pequeñas contribuciones independientes (teorema central del límite).
Diferencia relativa entre el valor aproximado y el valor exacto, expresada en %. Fórmula IB: |V_A − V_E|/|V_E| · 100. Permite comparar la precisión de medidas de distinta magnitud.
Vector r₂(t) − r₁(t) entre dos móviles. Su módulo es la distancia entre ellos en el instante t.
Expresión de la forma aⁿ que representa el producto de n factores iguales a a. Por ejemplo, 5³ = 5·5·5 = 125. La base es a y el exponente es n.
Aⁿ contabiliza los caminos de exactamente n pasos en el grafo. (Aⁿ)_ij = nº caminos de i a j con n aristas.
Aplicar n veces una transformación: Mⁿ. Calcularlo directamente exige n−1 productos matriciales; con diagonalización basta elevar D a la potencia n (lo cual es trivial porque D es diagonal) y conjugar por P. Es la herramienta que hace tratables las cadenas de Markov.
F(x) es primitiva de f ⇔ F′(x) = f(x). La integración es la operación inversa de la derivación.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). Probabilidad de A SABIENDO que ha ocurrido B.
Ciclo IB: (1) elegir tipo de modelo, (2) ajustar parámetros con datos, (3) validar comparando con datos no usados, (4) usar para predecir.
Dado un percentil p, devolver el valor x tal que P(X ≤ x) = p. Calculadora: invNorm(p, μ, σ).
A·B está definido solo si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Si A es m×p y B es p×n, A·B es m×n con (A·B)ᵢⱼ = Σ aᵢₖ·bₖⱼ. Asociativa y distributiva, pero NO conmutativa.
u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = |u|·|v|·cos θ. Devuelve un escalar. Mide la proyección de un vector sobre otro.
k·v = (k·a, k·b, k·c). Estira el vector si |k| > 1, lo encoge si |k| < 1, lo invierte si k < 0.
u × v devuelve un VECTOR perpendicular a u y v, con módulo |u|·|v|·sen θ. Dirección: regla de la mano derecha.
Sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, … La cantidad fija que se suma se llama diferencia común.
Sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija. Ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162, … La cantidad fija que multiplica se llama razón común.
Acumulación del error cuando se redondea en pasos intermedios de un cálculo. Cada redondeo introduce una incertidumbre que el cálculo siguiente amplifica. Por eso el IB exige no redondear hasta el último paso.
Si f y f⁻¹ existen: f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x. La inversa deshace lo que la función hace.
Linealidad: ∫(f+g) = ∫f + ∫g; ∫c·f = c·∫f. Aditividad: ∫_a^c + ∫_c^b = ∫_a^b. Inversión de límites: ∫_a^b = −∫_b^a.
Las cinco propiedades P1-P5 de NM 1.5 (producto, cociente, potencia de potencia, potencia de producto, exponente negativo) se generalizan literalmente a exponentes racionales con las mismas fórmulas.
Punto x donde f′(x) = 0 (o no está definida). Candidato a máximo, mínimo o punto de inflexión horizontal.
Estado donde dx/dt = dy/dt = 0. El sistema queda estacionario. Su estabilidad se analiza con la matriz jacobiana.
Punto donde la concavidad cambia (∪ → ∩ o viceversa). En él f″ = 0 (o no existe) Y cambia de signo.
Equilibrio donde los autovalores son reales con signos opuestos. Las soluciones se acercan en una dirección y se alejan en otra. Inestable.
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). Promedio de las coordenadas de los extremos de un segmento.
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2). Promedio coordenada a coordenada.
Valores (x*, y*) donde f(x, y) = 0. Las soluciones constantes y = y* son trayectorias estacionarias.
Medida de ángulo: 1 rad = arco igual al radio. 360° = 2π rad. Estándar en cálculo trigonométrico avanzado.
a^(1/n) significa la raíz n-ésima de a, es decir, el número x tal que xⁿ = a. Para n par, a debe ser ≥ 0 en ℝ.
Posición ordinal de un dato dentro del conjunto ordenado. Para Spearman se asignan rangos a x y a y, y se calcula r sobre ellos.
RIC = Q3 − Q1. Mide la dispersión del 50 % central de los datos. Robusto frente a outliers.
Módulo de la velocidad. Siempre no negativa. Diferente de velocidad (que tiene signo/dirección).
Tasa a la que una variable cambia respecto a otra. La derivada f′(x) es la razón de cambio instantánea de f respecto a x.
Si varias magnitudes dependen del tiempo y se relacionan por una ecuación, sus tasas de cambio se relacionan derivando implícitamente respecto a t.
En un triángulo rectángulo: sen θ = opuesto/hipotenusa, cos θ = adyacente/hipotenusa, tan θ = opuesto/adyacente.
Conjunto de valores y que toma f cuando x recorre el dominio. Es la «imagen» de f.
Recta que minimiza la suma de los cuadrados de los residuos (mínimos cuadrados). Es la salida estándar de LinReg.
y = ax + b ajustada por mínimos cuadrados. Permite predecir y a partir de x. Calculadora: LinReg(ax+b).
Recta perpendicular a la tangente en (a, f(a)). Pendiente: −1/f′(a). Útil en geometría y aplicaciones físicas.
Recta que toca la curva en (a, f(a)) con pendiente f′(a). Ecuación: y − f(a) = f′(a)·(x − a).
Operación de sustituir un número por otro próximo con menos cifras. Regla estándar IB: si la cifra a descartar es ≥ 5 se redondea hacia arriba; si es < 5 se trunca.
Una EDO de segundo orden se transforma en un sistema acoplado de dos EDOs de primer orden con v = y′. Permite aplicar Euler.
Conjunto de valores del estadístico para los cuales se rechaza H₀. Su tamaño es α (probabilidad de error tipo I).
En una normal: el 68 % cae a ±1σ de la media, el 95 % a ±2σ, el 99,7 % a ±3σ. Útil para estimaciones rápidas.
∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), donde F es una primitiva de f. Conecta integral definida y primitivas.
(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). La derivada de la composición es producto de derivadas (la externa evaluada en la interna, por la derivada interna).
Para determinar la dirección de u × v: dedos de u → v, pulgar apunta al producto vectorial. Convención estándar en R³.
(d/dx)(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹ para cualquier n real. Es la regla más usada del cálculo diferencial.
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C para n ≠ −1. Inversa de la regla de la potencia para derivadas.
(f + g)′ = f′ + g′. La derivada distribuye sobre sumas: deriva cada término por separado.
(f/g)′ = (f′·g − f·g′)/g². Para derivar fracciones donde el denominador depende de x.
(c·f)′ = c·f′ con c constante. Las constantes salen fuera de la derivada.
(f·g)′ = f′·g + f·g′. La derivada del producto NO es el producto de las derivadas.
Aproxima ∫_a^b f(x) dx dividiendo en n trapecios. Más precisa cuanto mayor n. Es la primera técnica numérica del IB.
Ajuste de modelos no lineales (exponencial, potencial, logístico, polinómico) a datos. Calculadora: ExpReg, PwrReg, QuadReg, etc.
Relación que solo crece o solo decrece (sin importar si es lineal). Spearman detecta monotonicidad; Pearson solo linealidad.
Aplicar el mismo test a los mismos sujetos en dos momentos. Si los resultados correlacionan alto, el test es fiable temporalmente.
rᵢ = yᵢ − ŷᵢ. Diferencia entre el valor observado y el predicho por el modelo. Su análisis revela patrones que el modelo no captura.
Ecuación auxiliar que liga las variables del problema (p.ej. perímetro fijo). Permite reducir a una sola variable.
En problemas de cinemática, la ecuación de la trayectoria o de la velocidad actúa como restricción al optimizar tiempo o distancia.
Limitar el dominio de una función no inyectiva para hacerla inyectiva y así poder invertirla (ej.: y = x² restringida a x ≥ 0).
Gráfico en el plano (x, y) que muestra trayectorias del sistema acoplado. Cada punto indica un estado; las flechas, la dirección del flujo.
V = π·∫_a^b [f(x)]² dx. Cada sección perpendicular al eje x es un disco de radio f(x).
V = π·∫_c^d [g(y)]² dy. Cada sección perpendicular al eje y es un disco de radio g(y) = x.
Spearman es menos sensible a outliers que Pearson porque trabaja con rangos en lugar de con valores brutos.
Capital del préstamo que aún queda por devolver en un instante intermedio. Cae rápidamente en los últimos años de un préstamo a tasa fija (cuando casi toda la cuota es principal) y muy lentamente al inicio (cuando casi toda es interés).
Región delimitada por dos radios y un arco. A = (θ/360°)·π·r² (grados) o A = (1/2)·r²·θ (radianes).
Región delimitada por una cuerda y el arco que une sus extremos. Área = área del sector − área del triángulo formado por la cuerda y los radios.
Derivada de la derivada. Mide cómo cambia f′. Físicamente: aceleración. Su signo dice si f es cóncava arriba o abajo.
Definición general: para cualquier θ, sen θ = coordenada y del extremo del radio; cos θ = coordenada x. Permite extender más allá de 0°-90°.
Recorrido que pasa por cada arista exactamente una vez. Existe ⇔ 0 ó 2 vértices con grado impar.
Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética: Sₙ = u₁ + u₂ + … + uₙ. Tiene dos fórmulas equivalentes: Sₙ = n/2·(2u₁ + (n−1)d) y Sₙ = n/2·(u₁ + uₙ).
Suma de los n primeros términos: Sₙ = u₁·(rⁿ − 1)/(r − 1) cuando r ≠ 1. Si r = 1, todos los términos son iguales y Sₙ = n·u₁. El crecimiento de Sₙ con n es siempre exponencial.
Suma de los infinitos términos de una sucesión: S∞ = u₁ + u₂ + u₃ + … La pregunta clave es si esa suma tiene un valor finito (la serie converge) o crece sin límite (diverge).
Error sistemático en el muestreo o medición que desvía las estimaciones de la realidad. Las muestras voluntarias suelen tener sesgo.
Una función es par si f(−x) = f(x) (simétrica respecto al eje y) e impar si f(−x) = −f(x) (simétrica respecto al origen). La mayoría no son ni par ni impar.
y = −f(x) refleja la gráfica respecto al eje x (las y cambian de signo).
y = f(−x) refleja la gráfica respecto al eje y (las x cambian de signo).
Dos o más EDOs cuyas variables dependen entre sí: dx/dt = f(x,y); dy/dt = g(x,y). Se resuelven simultáneamente (Lotka-Volterra, SIR).
Forma matricial compacta de un sistema lineal: A es la matriz de coeficientes, x el vector de incógnitas, b el vector de términos independientes. Si A es invertible, la solución es x = A⁻¹·b. En IB Math AI los sistemas siempre tienen A invertible salvo en TANS 1.15.
Conjunto de dos o más ecuaciones lineales que deben cumplirse simultáneamente. En IB Math AI los sistemas planteados en examen siempre tienen una única solución (no se preguntan sistemas incompatibles o con infinitas soluciones).
Cada uno de los puntos generadores de un diagrama de Voronoi. Su celda contiene todos los puntos del plano más cercanos a él.
Familia infinita de soluciones de la EDO, dependiente de una o más constantes. Una condición inicial selecciona una solución particular.
Coeficiente de correlación basado en RANGOS, no en valores. Mide asociación monótona (creciente o decreciente), no solo lineal.
Σ(yᵢ − ŷᵢ)². Mide cuánto se desvían los datos del modelo. Aparece en el numerador de R²: SSres/SStot.
Σ(yᵢ − ȳ)². Mide la varianza total de y. Aparece en el denominador de R².
Subconjunto del espacio muestral. Un resultado o conjunto de resultados que pueden ocurrir en un experimento aleatorio.
Ocurre cuando NO ocurre A. P(A^c) = 1 − P(A). Útil cuando es más fácil contar lo contrario.
A ∩ B = ∅: no pueden ocurrir a la vez. Entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
A y B son independientes ⇔ P(A ∩ B) = P(A)·P(B) ⇔ P(A|B) = P(A). Saber que B ocurrió no cambia la probabilidad de A.
(f + g)(x) = f(x) + g(x). El dominio es la intersección de los dominios de f y g. Se grafica sumando ordenadas punto a punto.
Solo definida entre matrices del mismo orden. Se suman elemento a elemento: (A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. Es conmutativa, asociativa, tiene elemento neutro (la matriz nula 0) y opuesto (−A).
Si X ~ N(μ₁, σ₁²) y Y ~ N(μ₂, σ₂²) independientes: X + Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²). La suma sigue siendo normal.
Si X ~ Poi(λ₁) y Y ~ Poi(λ₂) independientes: X + Y ~ Poi(λ₁ + λ₂). Propiedad útil al cambiar el intervalo de medida.
Valor t* tal que P(|t| < t*) = nivel de confianza, con df = n − 1. Para IC 95 % y df = 30: t* ≈ 2,042.
Tabla que asocia cada valor o intervalo con su frecuencia. Base para histograma, polígono de frecuencias y medidas estadísticas.
∫ eˣ dx = eˣ + C; ∫ (1/x) dx = ln|x| + C; ∫ sen x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sen x + C. Memorizar.
tan θ = sen θ / cos θ. Geométricamente, es la longitud del segmento de tangente al círculo desde el eje x al punto extremo.
Ocurre cuando f′(a) = 0. Coincide con los puntos críticos. Pendiente cero.
Tipo de interés anunciado, expresado en porcentaje anual. Si la capitalización es subanual, la tasa por periodo es r/(100·k). Cuidado: la tasa nominal no coincide con la tasa efectiva (que sí refleja el efecto del interés sobre intereses).
La media x̄ de n variables independientes (con cualquier distribución) tiende a una normal cuando n → ∞. Base de la inferencia estadística.
zⁿ = rⁿ·cis(nθ) para todo n entero. Es la regla operativa más rentable de TANS 1.13: una potencia de exponente entero solo cambia el módulo y multiplica el ángulo.
En un triángulo rectángulo: a² + b² = c² (c = hipotenusa). Base de la trigonometría plana y de la geometría euclídea.
c² = a² + b² − 2ab·cos C. Generaliza Pitágoras a triángulos no rectángulos. Útil cuando se conocen 2 lados y el ángulo entre ellos, o 3 lados.
En cualquier triángulo: a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R. Útil cuando se conocen 2 ángulos y un lado, o 2 lados y un ángulo opuesto.
Cualquier término de una progresión, identificado por su posición n. En una aritmética, uₙ = u₁ + (n−1)d. Permite saltar a cualquier término sin calcular todos los anteriores.
En una progresión geométrica, uₙ = u₁·rⁿ⁻¹. Permite saltar a cualquier término multiplicando el primero por r elevado a (n − 1).
Trío de enteros (a, b, c) que cumplen a² + b² = c². Las más comunes: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25).
Test para la media μ cuando σ es desconocida y se usa s. La distribución de referencia es la t con n − 1 grados de libertad.
Estadístico χ² = Σ(O − E)²/E. Mide la discrepancia entre frecuencias observadas (O) y esperadas (E). Usado en pruebas de independencia y bondad de ajuste.
Reproducir la gráfica que muestra la calculadora con los puntos clave correctamente etiquetados (cortes con ejes, máximos/mínimos, asíntotas).
Si Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b; Var(Y) = a²·Var(X). Útil para combinar y reescalar variables aleatorias.
Aplicación lineal del plano expresada como producto de una matriz 2×2 por un vector: (x′, y′)ᵀ = A·(x, y)ᵀ. Engloba rotaciones, reflexiones, dilataciones.
y = f(x − h) desplaza la gráfica h unidades hacia la derecha si h > 0, izquierda si h < 0. ¡El signo es contraintuitivo!
y = f(x) + k desplaza la gráfica k unidades hacia arriba si k > 0, abajo si k < 0. No cambia la forma.
Curva descrita por r(t) en el espacio cuando t varía. En MRU es una recta; con aceleración es una curva.
Técnica para calcular distancias y posiciones midiendo ángulos desde dos puntos conocidos al objeto. Base de la cartografía y el GPS.
Disposición triangular de los coeficientes binomiales C(n, k). Cada entrada es la suma de las dos directamente encima.
Problema del viajante: encontrar el circuito hamiltoniano de menor peso. NP-difícil; se usan heurísticas (vecino más próximo, cotas).
«Time Value of Money Solver». Aplicación financiera integrada en todas las calculadoras gráficas aprobadas por IB (TI-84, TI-Nspire, Casio fx-CG, HP Prime). Resuelve la ecuación financiera general despejando cualquier variable (N, I%, PV, PMT, FV).
Símbolo i definido por la propiedad i² = −1. Los números i, −i, 2i, etc. se llaman imaginarios puros. La unidad imaginaria amplía los números reales al cuerpo de los complejos, donde toda ecuación polinómica tiene solución.
Suceso «A o B (o ambos)». P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Cuando la EDO no se puede integrar a mano, el campo de direcciones permite predecir tendencias asintóticas y estabilidad de soluciones.
Comprobar que el modelo predice bien valores no usados en el ajuste. R² alto, pero también análisis cualitativo (¿captura la tendencia?).
Grado en que el instrumento mide lo que pretende medir. Distinción crucial frente a la fiabilidad (instrumento fiable pero no válido es posible).
Observación inusualmente lejana del resto. Convención IB: x < Q1 − 1,5·RIC o x > Q3 + 1,5·RIC.
Frontera de la región crítica. Para test bilateral al 5 % con la normal: ±1,96. Si el estadístico cae más allá, se rechaza H₀.
Capital tras los n años de capitalización. En la fórmula FV = PV·(1 + r/(100k))^(kn). En inglés: Future Value. La GDC lo etiqueta FV.
Capital inicial de la inversión o préstamo. En la fórmula FV = PV·(1 + r/(100k))^(kn) es el dinero «hoy» del problema. En inglés: Present Value. La calculadora gráfica lo etiqueta PV.
Escalar λ tal que existe un vector no nulo v cumpliendo Av = λv. Significa que A actúa sobre v como un simple estiramiento (factor λ), sin cambiar su dirección. También llamado autovalor.
Poder adquisitivo del valor futuro descontada la inflación. Si la tasa nominal es r y la inflación es i, el valor real al cabo de n años es FV_nominal / (1+i/100)^n. La tasa real cumple la relación de Fisher (1+r) = (1+r_real)·(1+i).
Variable que toma valores aislados con probabilidades asociadas. Su distribución se define con una tabla o una fórmula P(X = k).
Var(X) = n·p·(1 − p). σ = √(n·p·(1 − p)).
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y). Si X e Y son INDEPENDIENTES: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).
s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1). Se divide por n − 1 (no n) para que s² sea insesgado para σ². Es la corrección de Bessel.
σ² = Σ(xᵢ − x̄)²/n. Cuadrado de la desviación típica. Útil porque suma bien (varianza de la suma = suma de varianzas, si independientes).
Para un punto cualquiera del plano, su «vecino más próximo» entre los sitios es el sitio de cuya celda forma parte el punto.
Vector que da la dirección de una recta vectorial. Cualquier múltiplo no nulo del vector director sirve también.
Vector no nulo v que cumple Av = λv para algún valor propio λ. Es una dirección «invariante» bajo la transformación A: A solo lo estira o encoge, pero no lo rota.
u + v se obtiene sumando componente a componente. Geométricamente, regla del paralelogramo o del triángulo.
Vector con módulo 1. Para obtener uno en la dirección de v: û = v/|v|. Útil para indicar dirección sin magnitud.
Dos vectores son paralelos ⇔ uno es múltiplo escalar del otro: v = k·u para algún k ∈ ℝ.
Tasa de cambio del ángulo: ω = dθ/dt. Se mide en rad/s. Relacionada con la velocidad lineal por v = r·ω.
v(t) = ds/dt. Tasa de cambio del desplazamiento. Vector (signo indica sentido).
Cuando v depende de t, r(t) ya no es lineal. La velocidad instantánea es la derivada de r respecto a t.
Si x(t) es posición: v(t) = x′(t) (velocidad) y a(t) = v′(t) = x″(t) (aceleración). Interpretación física de derivadas sucesivas.
No basta con f′(x) = 0. Hay que comprobar con primera derivada (cambio de signo) o segunda (f″ > 0 → mín; f″ < 0 → máx).
Punto extremo de una parábola y = ax² + bx + c. Coordenada x: −b/(2a). Es máximo si a < 0, mínimo si a > 0.
Punto donde se encuentran tres o más aristas. Equidista de los tres (o más) sitios generadores correspondientes.
Vértice (o nodo): cada elemento de la red. Arista: conexión entre dos vértices. Pueden ser dirigidas (→) o no dirigidas (—).
Volumen del sólido generado al rotar una región plana alrededor de un eje. La región se «barre» en círculos.
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ se extiende a exponentes racionales (n = p/q). Ej.: (√x)′ = (1/2)·x⁻¹ᐟ².
Para IC con σ conocida o n grande, se usa z* en lugar de t*. z* = 1,96 para 95 %, z* = 2,576 para 99 %.