Este subtema (TANS 1.15) es exclusivo del Nivel Superior. Cierra el bloque T1d con la operación matricial más profunda del syllabus: la diagonalización vía valores y vectores propios, restringida a matrices 2×2 con valores propios reales y distintos. Es la base teórica de TANS 4.19 (cadenas de Markov) y TANS 5.17 (ecuaciones diferenciales acopladas).
Una matriz cuadrada actúa sobre los vectores del plano transformándolos: rota, escala, refleja, o una combinación. Para casi todos los vectores la transformación cambia tanto la dirección como la magnitud. Pero casi siempre existen unas pocas direcciones especiales —los vectores propios— donde la matriz solo estira o encoge sin rotar. El factor de ese estiramiento se llama valor propio.
Encontrar esas direcciones especiales es la clave para entender qué hace la matriz a largo plazo. Si quieres saber cómo evoluciona un sistema (poblaciones que se desplazan entre ciudades, depredadores y presas, navegantes que abren páginas web), elevar la matriz de transición a la n-ésima potencia te lo dice. Y elevar matrices a potencias grandes es trivial si previamente has encontrado los valores y vectores propios — es exactamente lo que TANS 1.15 enseña.
Sea A una matriz cuadrada (en TANS 1.15: 2×2). Un escalar λ y un vector no nulo v cumplen ser valor propio y vector propio de A si:
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