Hay procesos cuyo resultado no podemos anticipar: el número que sale al lanzar un dado, la carta que se extrae de una baraja, si lloverá mañana. Y, sin embargo, el azar no es caos absoluto. Si lanzas un dado equilibrado miles de veces, el seis aparece aproximadamente en una sexta parte de las tiradas; si lanzas una moneda, cara y cruz se reparten casi a partes iguales. La probabilidad es la rama de las matemáticas que pone número a esa regularidad oculta: mide, en una escala de 0 a 1, cuán verosímil es que algo ocurra.
El subtema NM 4.5 fija el vocabulario y la idea central sobre la que se construirá todo el bloque de probabilidad: la de resultados equiprobables. Cuando todos los desenlaces de un ensayo tienen la misma posibilidad, calcular una probabilidad se reduce a contar: cuántos resultados favorecen al suceso frente a cuántos resultados hay en total. Esa fracción —favorables entre posibles— es el corazón de los diagramas de Venn, los árboles y la probabilidad condicionada que verás en los subtemas siguientes.
El lenguaje del azar: ensayos, resultados y sucesos
Ensayo, resultado y espacio muestral
Un ensayo es una realización de un experimento aleatorio: lanzar una moneda una vez, extraer una bola de una urna, girar una ruleta. El experimento es aleatorio porque, aunque conocemos de antemano qué puede pasar, no podemos predecir qué pasará exactamente en cada ensayo.
Cada desenlace posible e indivisible se llama resultado. La lista completa de resultados forma el espacio muestral, que se denota con la letra U. El número de elementos del espacio muestral se escribe n(U). Para el lanzamiento de un dado ordinario de seis caras:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(U) = 6.
Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral: una colección de resultados que comparten una característica. «Salir un número par» es el suceso A = {2, 4, 6}; «salir un número mayor que 4» es el suceso B = {5, 6}. Un suceso puede contener un solo resultado (suceso elemental), varios, todos (el suceso seguro, U) o ninguno (el suceso imposible, ∅).
Probabilidad de un suceso con resultados equiprobables
Cuando todos los resultados de un ensayo son equiprobables —tienen exactamente la misma posibilidad de salir—, la probabilidad del suceso A es:
P(A) = n(A) / n(U)
donde n(A) es el número de resultados favorables al suceso y n(U) el número total de resultados posibles. Toda probabilidad cumple 0 ≤ P(A) ≤ 1: vale 0 para el suceso imposible y 1 para el suceso seguro.
La hipótesis de equiprobabilidad es esencial. La fórmula n(A)/n(U) solo es válida si cada resultado del espacio muestral pesa lo mismo: un dado equilibrado, una moneda sin trucar, una baraja bien barajada. Si el dado está cargado, la fórmula deja de funcionar y hay que recurrir a la frecuencia relativa.
Representar el espacio muestral: tablas y listas
Cuando un ensayo es sencillo basta con escribir el espacio muestral como una lista. Pero muchos experimentos combinan dos acciones —lanzar dos dados, sacar dos cartas— y entonces conviene una tabla de resultados de doble entrada, que organiza visualmente todos los pares posibles y evita olvidos.
Ejemplo 1 — espacio muestral de dos dados. Se lanzan dos dados equilibrados, uno rojo y uno azul. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las dos caras sea exactamente 7?
- El espacio muestral son todos los pares (rojo, azul). El primer dado tiene 6 resultados y el segundo otros 6, así que n(U) = 6 × 6 = 36.
- Listamos los pares cuya suma es 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Son 6 pares, luego n(A) = 6.
- Aplicamos la fórmula: P(suma = 7) = n(A)/n(U) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,167.
- La suma 7 es la más probable de todas porque es la que admite más combinaciones; sumas extremas como 2 o 12 solo tienen una combinación cada una y por tanto probabilidad 1/36.
Ejemplo 2 — una sola extracción de la baraja. De una baraja francesa de 52 cartas se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que sea una figura (sota, reina o rey).
- Cada carta es equiprobable, así que n(U) = 52.
- Hay 3 figuras (sota, reina, rey) en cada uno de los 4 palos: n(figura) = 3 × 4 = 12.
- P(figura) = 12/52 = 3/13 ≈ 0,231.
Sucesos complementarios y los dos tipos de probabilidad
El suceso complementario A′
Dado un suceso A, su suceso complementario A′ (se lee «no A») está formado por todos los resultados del espacio muestral que no pertenecen a A. Entre los dos cubren la totalidad de U sin solaparse: en cualquier ensayo ocurre A o bien ocurre A′, nunca los dos a la vez ni ninguno. De ahí la relación fundamental:
P(A) + P(A′) = 1, de donde P(A′) = 1 − P(A).
Esta regla es una de las herramientas más rentables de toda la probabilidad. Muchas veces calcular A directamente es laborioso —exige sumar muchos casos— mientras que calcular A′ es inmediato. La estrategia «cuento lo contrario y resto de 1» aparecerá una y otra vez, sobre todo en los problemas que contienen la expresión «al menos uno».
Ejemplo 3 — la potencia del complementario. Se lanzan tres monedas equilibradas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
- Cada moneda tiene 2 resultados, así que n(U) = 2 × 2 × 2 = 8.
- Contar directamente «al menos una cara» obligaría a sumar los casos de una, dos y tres caras. En su lugar, definimos el suceso complementario: A′ = «ninguna cara» = «las tres cruces».
- Solo hay un resultado con tres cruces, (X, X, X), así que P(A′) = 1/8.
- Por la regla del complementario: P(al menos una cara) = 1 − P(A′) = 1 − 1/8 = 7/8 = 0,875.
Error frecuente
Confundir «al menos uno» con «exactamente uno». «Al menos una cara» incluye los casos de una, dos y tres caras (probabilidad 7/8); «exactamente una cara» incluye solo los tres resultados con una única cara (probabilidad 3/8). Son sucesos distintos. Cuando el enunciado dice al menos uno, el reflejo correcto es pasar al complementario «ninguno», que casi siempre tiene un único caso o muy pocos, y restar de 1.
Probabilidad teórica y probabilidad experimental
Hasta aquí hemos calculado probabilidades teóricas: deducidas razonando sobre el espacio muestral, antes de realizar ningún ensayo, suponiendo equiprobabilidad. Pero hay una segunda vía para estimar una probabilidad: realizar el ensayo muchas veces y observar con qué frecuencia ocurre el suceso. Esa estimación es la probabilidad experimental, y se identifica con la frecuencia relativa:
frecuencia relativa = (nº de veces que ocurre A) / (nº total de ensayos).
| Aspecto | Probabilidad teórica | Probabilidad experimental |
|---|---|---|
| Cómo se obtiene | Razonando sobre el espacio muestral con la fórmula n(A)/n(U) | Repitiendo el ensayo y midiendo la frecuencia relativa |
| Requiere equiprobabilidad | Sí, para usar la fórmula del cociente | No: funciona también con dados cargados o procesos desconocidos |
| Cuándo se usa | Dado equilibrado, moneda justa, baraja bien barajada | Datos reales, simulaciones, fenómenos sin modelo previo |
| Relación entre ambas | Cuando el número de ensayos crece, la frecuencia relativa tiende a estabilizarse en torno a la probabilidad teórica (ley de los grandes números) | |
Las dos probabilidades no compiten: se complementan. La teórica es exacta pero exige un modelo idealizado; la experimental funciona siempre pero solo da una estimación, tanto mejor cuanto más ensayos se realicen. Si un dado teóricamente da P(seis) = 1/6 ≈ 0,167 pero al lanzarlo 600 veces el seis aparece 145 veces (frecuencia relativa 145/600 ≈ 0,242), tienes una señal estadística de que el dado podría estar cargado.
Número esperado de ocurrencias
Si conoces la probabilidad de un suceso y vas a repetir el ensayo un número determinado de veces, puedes anticipar cuántas veces ocurrirá en promedio. Ese valor es el número esperado de ocurrencias:
número esperado = n × P(A)
donde n es el número de ensayos. Es una predicción promedio, no una garantía: el resultado de un día concreto fluctuará alrededor de ese valor.
Ejemplo 4 — ausencias esperadas en una clase. En un centro hay 128 alumnos en un mismo curso y la probabilidad de que un alumno cualquiera falte un día dado es 0,1. ¿Cuál es el número esperado de ausencias en un día?
- El ensayo es «comprobar la asistencia de un alumno»; se repite n = 128 veces, una por alumno.
- La probabilidad del suceso «faltar» es P(A) = 0,1.
- Número esperado de ausencias = n × P(A) = 128 × 0,1 = 12,8.
- El resultado no es entero, y eso es correcto: es un promedio. Significa que, día tras día, las ausencias rondarán 13; unos días habrá 10, otros 16, pero la media a largo plazo se acerca a 12,8.
En la Prueba 1 del IB las preguntas de 4.5 suelen pedir tres cosas: (i) escribir el espacio muestral o su tamaño n(U) —cuídate de contar con orden cuando hay dos acciones—; (ii) aplicar P(A) = n(A)/n(U) y dejar la fracción simplificada o, si lo piden, el decimal con 3 cifras significativas; y (iii) usar el número esperado n × P(A). No te alarmes si el número esperado sale decimal: es un promedio y se deja tal cual, no se redondea a entero. Y recuerda el reflejo del complementario: en cuanto leas «al menos uno», calcula «ninguno» y resta de 1.