4.6 Diagramas de Venn, de árbol y sucesos compuestos

El subtema anterior nos dio el vocabulario del azar y la fórmula básica P(A) = n(A)/n(U). Pero los problemas interesantes rara vez tratan de un suceso aislado: preguntan por la probabilidad de que ocurra una cosa u otra, o de que ocurran dos cosas seguidas. Esos son los sucesos compuestos, y para manejarlos sin perderse hacen falta herramientas de representación: los diagramas de Venn, los diagramas de árbol y las tablas de resultados.

El subtema NM 4.6 reúne esas herramientas y las reglas que las acompañan. Aprenderás por qué la probabilidad de «A o B» no es una simple suma, qué significa que dos sucesos sean incompatibles o independientes, y cómo los árboles convierten los problemas de extracciones sucesivas —con o sin reposición— en un cálculo casi mecánico. Es la maquinaria que el subtema 4.11 después formalizará.

Representar sucesos: Venn, tablas y la regla de la unión

Diagramas de Venn y diagramas de espacio muestral

Un diagrama de Venn dibuja el espacio muestral como un rectángulo y cada suceso como un círculo dentro de él. La zona donde dos círculos se solapan representa la intersección A∩B (los resultados que cumplen A y B a la vez); la región cubierta por al menos uno de los círculos es la unión A∪B. Colocar el número de resultados —o la probabilidad— en cada región del diagrama hace visibles de un golpe todas las cantidades del problema.

Para experimentos que combinan dos acciones, una tabla de resultados de doble entrada cumple la misma función: cada fila es un resultado de la primera acción, cada columna uno de la segunda, y cada casilla un resultado del experimento combinado. Es el modo más seguro de no olvidar ningún caso al construir el espacio muestral.

La no exclusividad del «o»: la regla de la unión

En el lenguaje matemático, «A o B» es un «o» inclusivo: el suceso A∪B ocurre si ocurre A, si ocurre B o si ocurren los dos. Esto tiene una consecuencia que sorprende a muchos alumnos: la probabilidad de la unión no es la suma P(A) + P(B). Al sumar las dos probabilidades, los resultados que están en la intersección se cuentan dos veces, una al medir A y otra al medir B. Hay que restar una de esas dos cuentas.

Dos sucesos son incompatibles, o mutuamente excluyentes, cuando no pueden ocurrir a la vez: su intersección es vacía. «Salir par» y «salir 3» al lanzar un dado son incompatibles; «salir par» y «salir mayor que 3» no lo son, porque el 4 y el 6 cumplen las dos cosas.

Ejemplo 1 — la regla de la suma con solapamiento. De una baraja francesa de 52 cartas se extrae una. Sea A = «la carta es de corazones» y B = «la carta es una figura». Calcula P(A∪B).

1. Hay 13 corazones, así que P(A) = 13/52.
2. Hay 12 figuras (3 en cada palo), así que P(B) = 12/52.
3. La intersección A∩B son las figuras de corazones: sota, reina y rey de corazones, 3 cartas. P(A∩B) = 3/52.
4. Aplicamos la regla: P(A∪B) = 13/52 + 12/52 − 3/52 = 22/52 = 11/26 ≈ 0,423.
5. Si hubiéramos sumado 13/52 + 12/52 = 25/52 sin restar, habríamos contado dos veces las 3 figuras de corazones. La resta lo corrige.

Sucesos en cadena: diagramas de árbol y dependencia

El diagrama de árbol: extracciones sucesivas

Cuando un experimento se desarrolla en etapas sucesivas —lanzar una moneda y luego un dado, extraer dos bolas seguidas— el diagrama de árbol es la herramienta reina. Cada etapa es un grupo de ramas; cada rama lleva escrita la probabilidad de su resultado; y se cumplen dos reglas mecánicas:

• A lo largo de las ramas se multiplica. La probabilidad de un camino completo es el producto de las probabilidades de las ramas que lo componen.
• Entre caminos distintos se suma. Si un suceso se consigue por varios caminos, su probabilidad es la suma de las probabilidades de esos caminos.

Las probabilidades de las ramas que parten de un mismo nudo siempre suman 1, lo que da una comprobación cómoda al construir el árbol.

Con reposición y sin reposición

La distinción más importante en los problemas de extracciones es si hay o no reposición. Con reposición, el objeto extraído se devuelve antes de la siguiente extracción: el espacio muestral no cambia y las probabilidades de la segunda etapa son iguales que las de la primera. Sin reposición, el objeto no se devuelve: hay un elemento menos en el total y, según lo que saliera antes, también puede haber uno menos del tipo extraído. Las probabilidades de la segunda etapa dependen de la primera.

Ejemplo 2 — extracción con reposición. Una urna contiene 5 bolas rojas y 3 azules. Se extrae una bola, se anota su color y se devuelve a la urna; luego se extrae otra. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas?

1. Como hay reposición, en cada extracción la urna tiene 8 bolas, 5 de ellas rojas: P(roja) = 5/8 en las dos etapas.
2. El camino «roja y roja» multiplica las dos ramas: P(R, R) = (5/8) × (5/8).
3. Cálculo: (5/8) × (5/8) = 25/64 ≈ 0,391.

Ejemplo 3 — extracción sin reposición. Misma urna —5 rojas y 3 azules—, pero ahora la primera bola no se devuelve. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean rojas?

1. Primera extracción: la urna tiene 8 bolas, 5 rojas. P(1ª roja) = 5/8.
2. Suponiendo que la primera fue roja, la urna queda con 7 bolas y solo 4 rojas. P(2ª roja | 1ª roja) = 4/7.
3. Multiplicamos a lo largo del camino «roja y roja»: P(R, R) = (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14 ≈ 0,357.
4. Sin reposición la probabilidad baja (0,357 frente a 0,391): al retirar una roja, quedan proporcionalmente menos rojas para la segunda extracción.

Probabilidad condicionada y sucesos independientes

El paso 2 del ejemplo anterior usó una probabilidad condicionada: P(2ª roja | 1ª roja), «la probabilidad de roja en la segunda extracción sabiendo que la primera fue roja». La barra vertical se lee «dado que» o «sabiendo que». Su definición formal es:

P(A|B) = P(A∩B) / P(B),    equivalente a    P(A∩B) = P(B) × P(A|B).

La idea es que saber que B ha ocurrido restringe el espacio muestral: ya no nos interesa todo U, solo la parte que cumple B. La segunda forma, P(A∩B) = P(B) × P(A|B), es exactamente la regla de multiplicación a lo largo de las ramas de un árbol.

Hay un caso especial en el que la condición no aporta nada: cuando que B ocurra no cambia la probabilidad de A. Entonces los sucesos son independientes y se cumple:

P(A∩B) = P(A) × P(B)

Las extracciones con reposición son independientes (la urna vuelve a su estado inicial); las extracciones sin reposición son dependientes. No hay que confundir independiente con incompatible: son ideas distintas, y la tabla siguiente las separa.

Ejemplo 4 — varios caminos y probabilidad condicionada con el árbol. En la urna de 5 rojas y 3 azules se extraen dos bolas sin reposición. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color? (b) Sabiendo que ya han salido dos del mismo color, ¿cuál es la probabilidad de que fueran las dos azules?

1. Las dos rojas, por el ejemplo 3: P(R, R) = (5/8) × (4/7) = 20/56.
2. Las dos azules: P(1ª azul) = 3/8 y P(2ª azul | 1ª azul) = 2/7, luego P(A, A) = (3/8) × (2/7) = 6/56.
3. (a) «Mismo color» se consigue por dos caminos distintos —dos rojas o dos azules— así que se suman: P(mismo color) = 20/56 + 6/56 = 26/56 = 13/28 ≈ 0,464.
4. (b) Pide P(dos azules | mismo color). Por la fórmula condicionada: P(dos azules | mismo color) = P(dos azules ∩ mismo color) / P(mismo color). Como «dos azules» ya implica «mismo color», la intersección es simplemente P(A, A) = 6/56.
5. P(dos azules | mismo color) = (6/56) ÷ (26/56) = 6/26 = 3/13 ≈ 0,231.