3.1 Geometría 3D: distancia, volumen y área

La geometría del Tema 3 da el salto del plano al espacio. Hasta ahora todo cabía sobre una hoja: dos coordenadas, un teorema de Pitágoras, polígonos planos. El subtema NM 3.1 añade una tercera dirección y, con ella, los sólidos reales: la lata de refresco es un cilindro, la bola de helado una esfera, el tejado a cuatro aguas una pirámide. Saber cuánto material recubre un sólido o cuánto líquido cabe dentro deja de ser un ejercicio abstracto y se convierte en una herramienta de ingeniería, arquitectura y ciencia.

Este subtema persigue dos objetivos. El primero es medir en el espacio: localizar puntos con tres coordenadas, calcular la distancia entre dos de ellos y el punto medio del segmento que los une. El segundo es cuantificar sólidos: volumen y superficie de pirámides, conos, esferas y semiesferas, y de las combinaciones que aparecen en problemas reales. Cierra una idea clave para Nivel Medio: en tres dimensiones, toda la trigonometría que se necesita es la del triángulo rectángulo —basta con saber encontrar el triángulo correcto dentro del sólido.

Medir en el espacio tridimensional

Coordenadas y distancia entre dos puntos

Un punto del espacio se describe con tres coordenadas, P(x, y, z), respecto a tres ejes perpendiculares dos a dos. La distancia entre dos puntos se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces: una vez en el plano horizontal para cubrir el desplazamiento en x e y, y otra vez en el plano vertical para añadir el desplazamiento en z. El resultado combina las tres diferencias bajo una sola raíz.

Ejemplo 1 — distancia y punto medio. Halla la distancia entre A(1, −2, 3) y B(4, 2, 15) y las coordenadas del punto medio del segmento AB.

1. Diferencias componente a componente: Δx = 4 − 1 = 3; Δy = 2 − (−2) = 4; Δz = 15 − 3 = 12.
2. Cuadrados: 3² = 9; 4² = 16; 12² = 144. Suma: 9 + 16 + 144 = 169.
3. Distancia: d = √169 = 13 unidades.
4. Punto medio: M = ((1 + 4)/2, (−2 + 2)/2, (3 + 15)/2) = (2,5; 0; 9).

Ángulos entre rectas y entre recta y plano

En NM 3.1 también se pide medir el ángulo entre dos rectas que se cortan y el ángulo entre una recta y un plano. La clave es que en Nivel Medio no se recurre a vectores ni a fórmulas tridimensionales especiales: se identifica un triángulo rectángulo dentro de la figura y se resuelve con trigonometría elemental (la del subtema 3.2). El ángulo entre una recta y un plano es el que forma la recta con su proyección sobre el plano, es decir, con la «sombra» que proyectaría una luz perpendicular al plano.

Ejemplo 2 — ángulo de una diagonal con la base. Una caja rectangular tiene base de 6 cm por 8 cm y altura 5 cm. Halla el ángulo que la diagonal del cuerpo forma con el plano de la base.

1. La diagonal del cuerpo va de un vértice inferior al vértice superior opuesto. Su proyección sobre la base es la diagonal de la base.
2. Diagonal de la base (Pitágoras en el rectángulo): d_base = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
3. El triángulo rectángulo pertinente tiene como cateto horizontal la diagonal de la base (10 cm), como cateto vertical la altura (5 cm) y como hipotenusa la diagonal del cuerpo. El ángulo θ con la base cumple tan θ = 5/10 = 0,5.
4. θ = arctan(0,5) ≈ 26,6°.

Volumen y superficie de los sólidos

El IB facilita las fórmulas de volumen y superficie en el cuadernillo de datos, pero conviene tenerlas asimiladas para resolver con soltura. El volumen mide cuánto espacio encierra el sólido (unidades cúbicas); el área de la superficie mide cuánto material lo recubre (unidades cuadradas).

Las fórmulas esenciales

Dos observaciones importantes. La superficie del cono incluye dos términos: el círculo de la base, πr², y la superficie lateral curva, πrl; muchas respuestas fallan por olvidar uno de los dos. La superficie de la semiesfera sólida vale 3πr² porque suma la media corteza esférica (2πr²) y el disco plano que la cierra (πr²); si el problema describe una cúpula hueca sin tapa, se usa solo 2πr². Lee el enunciado con cuidado para saber qué caras cuentan.

Ejemplo 3 — cono recto: volumen y superficie. Un cono recto tiene radio de base 9 cm y altura 12 cm. Calcula su volumen y el área total de su superficie. Da las respuestas con tres cifras significativas.

1. Volumen: V = (1/3) π r² h = (1/3) π · 9² · 12 = (1/3) π · 81 · 12 = (1/3) π · 972 = 324π ≈ 1018 cm³.
2. Generatriz: l = √(r² + h²) = √(81 + 144) = √225 = 15 cm.
3. Superficie de la base: πr² = 81π cm². Superficie lateral: πrl = π · 9 · 15 = 135π cm².
4. Área total: (81 + 135)π = 216π ≈ 679 cm².

Sólidos combinados

Los problemas más ricos combinan varios sólidos: un depósito formado por un cilindro coronado por una semiesfera, un cohete de juguete con un cono sobre un cilindro, una bola de helado sobre un barquillo cónico. La estrategia es siempre la misma: descomponer la figura en piezas conocidas, calcular cada una por separado y sumar (o restar, si hay un hueco). Para el área de la superficie hay que prestar atención a las caras que quedan ocultas al unir las piezas: esas caras de contacto no forman parte de la superficie exterior y no se cuentan.

Ejemplo 4 — sólido combinado: silo de almacenamiento. Un silo está formado por un cilindro de radio 3 m y altura 8 m, rematado en su parte superior por una semiesfera del mismo radio. Calcula el volumen total de almacenamiento. Da la respuesta con tres cifras significativas.

1. Volumen del cilindro: V_cil = π r² h = π · 3² · 8 = π · 9 · 8 = 72π m³.
2. Volumen de la semiesfera: V_semi = (2/3) π r³ = (2/3) π · 3³ = (2/3) π · 27 = 18π m³.
3. Volumen total: V = 72π + 18π = 90π m³.
4. Resultado: 90π ≈ 283 m³.

Observa que el volumen se suma sin más: el espacio interior del cilindro y el de la semiesfera son distintos y no se solapan. En cambio, si el problema pidiera el área exterior del silo, no se contaría el círculo superior del cilindro (queda tapado por la semiesfera) ni el disco plano de la semiesfera (queda apoyado sobre el cilindro): solo la cara lateral del cilindro, su base inferior y la media corteza esférica.