La recta es el objeto geométrico más sencillo que puede describirse con una ecuación, y precisamente por eso es la puerta de entrada al estudio de las funciones. Antes de manejar parábolas, exponenciales o funciones trigonométricas, conviene dominar el caso en el que la relación entre dos variables es constante: cada vez que x aumenta una unidad, y cambia siempre la misma cantidad. Esa cantidad fija es la pendiente, y es la idea que el subtema NM 2.1 te pide entender a fondo.
El syllabus de AA presenta tres maneras de escribir la misma recta. No son tres rectas distintas ni tres teorías rivales: son tres vestidos de la misma información, y elegir el adecuado según los datos del problema te ahorra cálculo y errores. En esta página verás cuándo conviene cada una, cómo se mide la pendiente, y cómo el signo y el valor de la pendiente codifican la relación entre dos rectas. Las pendientes de carreteras y rampas, al final, te mostrarán que todo esto describe el mundo físico.
Las tres formas de la ecuación de una recta
Forma pendiente-intersección: y = mx + c
La forma más reconocible es y = mx + c. Aquí m es la pendiente y c es la ordenada en el origen, es decir, el valor de y cuando x = 0. Su gran ventaja es que se lee como un libro abierto: con solo mirar la ecuación sabes cómo de inclinada está la recta y por dónde corta el eje vertical. Si te dan y = 3x − 5, sin dibujar nada ya sabes que la recta sube 3 unidades por cada unidad que avanzas y que corta el eje y en el punto (0, −5).
Esta forma es además la que necesitas para representar una recta con la calculadora gráfica o para identificar de un vistazo si dos rectas son paralelas. Su limitación es que no puede describir rectas verticales: una recta vertical no tiene una pendiente finita, así que no existe ningún valor de m que la represente en este formato.
Pendiente entre dos puntos
Dados dos puntos distintos de una recta, (x1, y1) y (x2, y2), la pendiente es
m = (y2 − y1) / (x2 − x1)
Es decir, el cambio vertical dividido por el cambio horizontal. El resultado no depende de qué dos puntos de la recta elijas ni del orden en que los tomes, siempre que seas coherente con el orden en numerador y denominador. Una pendiente positiva indica que la recta sube de izquierda a derecha; una negativa, que baja; una pendiente cero corresponde a una recta horizontal.
Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁)
Cuando un problema te da un punto y la pendiente, la forma punto-pendiente es la herramienta directa. Escribes y − y1 = m(x − x1) sustituyendo el punto y la pendiente, y ya tienes la recta. Después puedes desarrollarla hasta la forma pendiente-intersección si el examen lo pide, pero el primer paso no exige despejar nada.
Esta forma también es la natural cuando conoces dos puntos: calculas primero m con la fórmula del cociente, eliges uno cualquiera de los dos puntos como (x1, y1) y aplicas la fórmula. El otro punto sirve para comprobar que no te has equivocado.
Forma general: ax + by + d = 0
La forma general, ax + by + d = 0, agrupa todos los términos en un lado de la igualdad. Es la más universal: puede representar cualquier recta del plano, incluidas las verticales (cuando b = 0). Los exámenes del IB suelen pedir la respuesta en esta forma con coeficientes enteros, así que conviene saber pasar de una forma a otra sin titubear.
| Forma | Expresión | Cuándo usarla |
|---|---|---|
| Pendiente-intersección | y = mx + c | Conoces o quieres leer la pendiente y la ordenada en el origen; para representar gráficamente. |
| Punto-pendiente | y − y1 = m(x − x1) | Conoces un punto y la pendiente, o dos puntos. Es el primer paso más rápido. |
| General | ax + by + d = 0 | Respuesta final con coeficientes enteros; describe rectas verticales. |
Ejemplo 1 — de dos puntos a las tres formas. Halla la ecuación de la recta que pasa por A(2, 1) y B(6, 9), y exprésala en las tres formas.
- Pendiente: m = (9 − 1) / (6 − 2) = 8 / 4 = 2.
- Punto-pendiente con A: y − 1 = 2(x − 2).
- Desarrollar a pendiente-intersección: y − 1 = 2x − 4, luego y = 2x − 3. La ordenada en el origen es −3.
- Forma general: pasamos todo a un lado, 2x − y − 3 = 0.
- Comprobación con B: 2(6) − 9 − 3 = 12 − 9 − 3 = 0. ✓
Relaciones entre rectas: paralelas y perpendiculares
Rectas paralelas: misma pendiente
Dos rectas distintas son paralelas cuando nunca se cortan. Geométricamente eso significa que están igual de inclinadas, y algebraicamente se traduce en una condición limpia: m1 = m2. Si dos rectas tienen la misma pendiente pero distinta ordenada en el origen, son paralelas; si además coinciden en la ordenada en el origen, son la misma recta.
Ejemplo 2 — recta paralela por un punto dado. Halla la ecuación de la recta paralela a y = −3x + 7 que pasa por el punto (4, 5).
- La recta dada tiene pendiente −3. Una recta paralela tiene la misma pendiente: m = −3.
- Punto-pendiente con (4, 5): y − 5 = −3(x − 4).
- Desarrollar: y − 5 = −3x + 12, luego y = −3x + 17.
- Comprobación: en (4, 5), −3(4) + 17 = −12 + 17 = 5. ✓ Mismo coeficiente de x que la original, distinta ordenada: efectivamente paralela.
Rectas perpendiculares: pendientes opuestas e inversas
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo recto. La condición algebraica es m1 × m2 = −1, válida siempre que ninguna de las dos sea vertical. En la práctica esto significa que la pendiente de una es la opuesta del inverso de la otra: si la primera tiene pendiente m, la perpendicular tiene pendiente −1/m.
Error frecuente
Para hallar la pendiente perpendicular hay que hacer dos cosas: cambiar el signo y dar la vuelta a la fracción. Si la pendiente original es 2/3, la perpendicular es −3/2, no −2/3 ni 3/2. Un fallo muy común es cambiar solo el signo y olvidar el inverso, o al revés. Verifícalo siempre multiplicando: (2/3) × (−3/2) = −1. ✓
Ejemplo 3 — recta perpendicular por un punto. Halla la recta perpendicular a y = (1/2)x + 4 que pasa por (3, −2). Exprésala en forma general con coeficientes enteros.
- La recta dada tiene pendiente 1/2. La perpendicular tiene pendiente m = −1 ÷ (1/2) = −2.
- Comprobación de la condición: (1/2) × (−2) = −1. ✓
- Punto-pendiente con (3, −2): y − (−2) = −2(x − 3), es decir y + 2 = −2(x − 3).
- Desarrollar: y + 2 = −2x + 6, luego y = −2x + 4.
- Forma general con enteros: 2x + y − 4 = 0. Comprobación en (3, −2): 2(3) + (−2) − 4 = 6 − 2 − 4 = 0. ✓
La pendiente en el mundo real: carreteras y rampas
La pendiente no es una abstracción escolar: es exactamente la magnitud que aparece en las señales de tráfico. Cuando una señal de carretera de montaña indica un 8 %, está diciendo que por cada 100 metros de avance horizontal la carretera asciende 8 metros verticales. Eso es una pendiente de 8/100 = 0,08. Cuanto mayor es el porcentaje, más empinada es la subida y más exige al motor o a los frenos.
En accesibilidad ocurre lo mismo. La normativa para rampas suele exigir pendientes suaves para que una silla de ruedas pueda subir sin esfuerzo excesivo: una pendiente del 6 %, por ejemplo, equivale a 0,06, lo que significa subir solo 6 cm de altura por cada metro de rampa. Una pendiente pensada para personas se mueve en valores muy pequeños; una carretera de montaña, algo mayores; un tejado o una escalera, mucho mayores.
Ejemplo 4 — la pendiente de una rampa. Una rampa de acceso debe salvar un desnivel de 0,45 m. El espacio horizontal disponible es de 7,5 m. ¿Qué pendiente tiene la rampa, expresada como porcentaje? Si la normativa exige un máximo del 8 %, ¿cumple?
- La pendiente es el cambio vertical dividido por el horizontal: m = 0,45 / 7,5 = 0,06.
- Como porcentaje: 0,06 × 100 = 6 %.
- El 6 % es menor que el límite del 8 %, así que la rampa cumple la normativa.
- Interpretación: por cada metro horizontal la rampa sube 6 cm, una inclinación cómoda para una silla de ruedas.
Tres reflejos rinden marcas seguras en preguntas de 2.1. Primero: si te piden una recta y te dan un punto y una pendiente, arranca siempre con la forma punto-pendiente; intentar adivinar directamente y = mx + c provoca errores de signo. Segundo: para la pendiente perpendicular, cambia el signo y el inverso, y compruébalo multiplicando por −1. Tercero: si la pregunta pide la forma general, deja los coeficientes enteros y, por convenio, el coeficiente de x positivo. Y antes de cerrar, sustituye un punto conocido para verificar.