5.17 Retratos de fase y valores propios (solo NS)

⚠ Ampliación · Solo Nivel Superior (NS)

Este subtema (TANS 5.17) introduce los retratos de fase para sistemas acoplados de EDOs lineales. Reúne tres elementos del NS: (1) EDOs acopladas de TANS 5.16, (2) autovalores/autovectores de matrices 2×2 de TANS 1.15, y (3) análisis cualitativo de TANS 5.15. El resultado: clasificar el comportamiento global de un sistema dinámico solo a partir de los autovalores de su matriz. Es una de las síntesis más elegantes del NS AI.

EDO acoplada lineal

«Los retratos de fase como método para resolver ecuaciones diferenciales acopladas de la forma:

dx/dt = a·x + b·y

dy/dt = c·x + d·y»

Matricialmente: d/dt (x, y)ᵀ = M · (x, y)ᵀ con M = [[a, b], [c, d]].

Convención literal: «un sistema tendrá valores propios diferentes y distintos de cero». Es decir, no se consideran autovalores repetidos ni cero.

Cinco casos literales

«Si los valores propios son:

• Positivos o complejos con parte real positiva → todas las soluciones se ALEJAN del origen.
• Negativos o complejos con parte real negativa → todas las soluciones se MUEVEN ACERCÁNDOSE al origen.
• Complejos → las soluciones forman una ESPIRAL.
• Imaginarios → las soluciones forman un CÍRCULO o una ELIPSE.