4.15 Combinaciones lineales de normales y teorema central del límite (solo NS)

⚠ Ampliación · Solo Nivel Superior (NS)

Este subtema (TANS 4.15) presenta el teorema central del límite (TCL), el resultado más importante de toda la estadística inferencial. Sin él, la mayoría de técnicas posteriores (intervalos de confianza en 4.16, contrastes en 4.18) no tendrían justificación cuando los datos no son normales. La cita literal del syllabus: «Sin el teorema central del límite no podría haber estadísticas de valor alguno en el ámbito de las ciencias humanas».

Propiedad de cierre

Si X₁, X₂, …, Xₙ son normales independientes con X_i ~ N(μ_i, σ²_i), entonces cualquier combinación lineal a₁X₁ + a₂X₂ + … + aₙXₙ + b también es normal. Aplicando las reglas de TANS 4.14:

• E = a₁μ₁ + a₂μ₂ + … + aₙμₙ + b
• Var = a₁²σ²₁ + a₂²σ²₂ + … + aₙ²σ²ₙ

La distribución resultante es N(media, varianza) exactamente, no «aproximadamente». La normal es cerrada bajo combinaciones lineales de variables independientes — propiedad especial que no comparte ninguna otra distribución común.