Un sistema de ecuaciones lineales aparece siempre que varias condiciones de primer grado deben cumplirse a la vez: el equilibrio de una mezcla química, el reparto de un presupuesto, el ajuste de una curva a unos datos. El subtema TANS 1.16 te enseña a resolver sistemas de hasta tres ecuaciones con tres incógnitas y, sobre todo, a clasificarlos: no todo sistema tiene una solución limpia. Algunos tienen infinitas; otros, ninguna.
Esa clasificación tiene una lectura geométrica preciosa. Cada ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Resolver el sistema es buscar los puntos comunes a los tres planos: pueden cortarse en un punto, en una recta entera, o no tener ningún punto común. Esa conexión con la intersección de rectas y planos se desarrolla en TANS 3.18; aquí construimos la maquinaria algebraica que la sustenta.
Resolver y clasificar sistemas
Los tres tipos de sistema
Cualquier sistema lineal pertenece a uno de tres tipos, según cuántas soluciones admita:
| Tipo | Soluciones | Geometría (3 incógnitas) |
|---|---|---|
| Compatible determinado | Exactamente una | Los tres planos se cortan en un único punto. |
| Compatible indeterminado | Infinitas | Los tres planos comparten una recta (o un plano) entera. |
| Incompatible | Ninguna | Los planos no tienen ningún punto en común. |
El método de eliminación gaussiana
La eliminación gaussiana resuelve cualquier sistema lineal de forma sistemática. La idea es transformar el sistema, paso a paso, en otro equivalente (con las mismas soluciones) pero escalonado: cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Una vez escalonado, se resuelve por sustitución hacia atrás, despejando desde la última ecuación hacia la primera.
Operaciones que no cambian las soluciones
Tres operaciones transforman un sistema en otro equivalente:
- Intercambiar dos ecuaciones de orden.
- Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.
- Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
La tercera es la clave del método: combinando ecuaciones se eliminan incógnitas hasta dejar el sistema escalonado.
Caso 1: solución única
Ejemplo 1 — sistema compatible determinado. Resuelve:
(1) x + y + z = 6
(2) 2x − y + z = 3
(3) x + 2y − z = 2
- Eliminar x de (2). Hacemos (2) − 2·(1): (2x − y + z) − 2(x + y + z) = 3 − 12 → −3y − z = −9. La llamamos (2′).
- Eliminar x de (3). Hacemos (3) − (1): (x + 2y − z) − (x + y + z) = 2 − 6 → y − 2z = −4. La llamamos (3′).
- Ahora tenemos un sistema 2×2 en y, z: (2′) −3y − z = −9 y (3′) y − 2z = −4.
- Eliminar y. Hacemos (2′) + 3·(3′): (−3y − z) + 3(y − 2z) = −9 + 3(−4) → −7z = −21 → z = 3.
- Sustituir hacia atrás. En (3′): y − 2(3) = −4 → y = −4 + 6 = 2.
- En (1): x + 2 + 3 = 6 → x = 1.
- Solución única: x = 1, y = 2, z = 3. Comprobación en (2): 2(1) − 2 + 3 = 3. ✓ En (3): 1 + 2(2) − 3 = 2. ✓
Caso 2: sin solución
Ejemplo 2 — sistema incompatible. Resuelve:
(1) x + y + z = 4
(2) 2x + 2y + 2z = 9
(3) x − y + 3z = 1
- Eliminar x de (2). Hacemos (2) − 2·(1): (2x + 2y + 2z) − 2(x + y + z) = 9 − 8 → 0 = 1.
- La ecuación 0 = 1 es imposible: ningún valor de las incógnitas puede hacerla cierta.
- Conclusión: el sistema es incompatible, no tiene solución. Geométricamente, los planos (1) y (2) son paralelos —tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente—, así que no comparten ningún punto.
Caso 3: infinitas soluciones
Ejemplo 3 — sistema compatible indeterminado. Resuelve y da la solución general:
(1) x + y + z = 3
(2) 2x − y + 3z = 4
(3) 3x + 4z = 7
- Observa que (3) es exactamente (1) + (2): (x + y + z) + (2x − y + 3z) = 3x + 4z, y 3 + 4 = 7. La tercera ecuación no aporta información nueva.
- Eliminar x de (2). (2) − 2·(1): −3y + z = 4 − 6 = −2. La llamamos (2′).
- Eliminar x de (3). (3) − 3·(1): (3x + 4z) − 3(x + y + z) = 7 − 9 → −3y + z = −2. Es idéntica a (2′): al restarlas se obtiene 0 = 0, confirmación de que el sistema es indeterminado.
- Introducir un parámetro libre. Quedan dos ecuaciones útiles, (1) y (2′), para tres incógnitas. Asignamos a una incógnita un valor arbitrario: sea z = t, con t ∈ ℝ.
- De (2′): −3y + t = −2 → y = (t + 2)/3.
- De (1): x = 3 − y − z = 3 − (t + 2)/3 − t = (9 − t − 2 − 3t)/3 = (7 − 4t)/3.
- Solución general: x = (7 − 4t)/3, y = (t + 2)/3, z = t, para todo t ∈ ℝ.
- Comprobación con t = 1: x = 1, y = 1, z = 1. En (1): 1+1+1 = 3 ✓. En (2): 2−1+3 = 4 ✓. En (3): 3+4 = 7 ✓. Con t = 4: x = −3, y = 2, z = 4. En (1): −3+2+4 = 3 ✓. En (2): −6−2+12 = 4 ✓.
Estrategia, tecnología y errores
El método tecnológico
La guía AA NS admite resolver sistemas con la calculadora gráfica del IB. Las TI-Nspire y Casio fx-CG incorporan funciones de resolución de sistemas lineales (en la TI-Nspire, el menú Álgebra → Resolver sistema de ecuaciones lineales; en la Casio, el modo Equation). Estas herramientas devuelven la solución única cuando existe, y avisan de los otros dos casos.
Error frecuente
Confiar en que la calculadora "lo resuelve todo". Ante un sistema indeterminado, muchas calculadoras devuelven una solución particular (o muestran un parámetro que el alumno no interpreta), y ante un incompatible dan un mensaje de error escueto. La calculadora no escribe por ti la solución general con parámetro libre, y en la Prueba 1 (sin calculadora) no la tienes. Domina la eliminación gaussiana a mano: es la única forma de clasificar correctamente el sistema y de redactar la solución general que el IB exige.
Cómo leer el final de la reducción
El paso decisivo de todo este subtema es saber interpretar la ecuación a la que llegas tras eliminar incógnitas. Resume:
| Lo que aparece al reducir | Diagnóstico | Qué hacer |
|---|---|---|
| Un valor para cada incógnita | Compatible determinado | Sustituir hacia atrás; dar la terna (x, y, z). |
| Una fila se vuelve 0 = 0 | Compatible indeterminado | Introducir un parámetro libre y dar la solución general. |
| Una fila se vuelve 0 = k, con k ≠ 0 | Incompatible | Declarar que no hay solución; no seguir calculando. |
Ejemplo 4 — diagnóstico con un parámetro en el sistema. Estudia, según el valor de a, el sistema:
(1) x + y = 3
(2) 2x + 2y = a
- Eliminar x. (2) − 2·(1): (2x + 2y) − 2(x + y) = a − 6 → 0 = a − 6.
- Si a = 6: la ecuación es 0 = 0, siempre cierta. El sistema se reduce a una sola ecuación útil, x + y = 3 → compatible indeterminado. Solución general: y = t, x = 3 − t, con t ∈ ℝ.
- Si a ≠ 6: la ecuación es 0 = (un número distinto de cero), imposible → incompatible, sin solución.
- Observa que este sistema nunca es compatible determinado: las dos ecuaciones representan rectas paralelas (mismos coeficientes), que o coinciden (a = 6) o no se cortan (a ≠ 6). Jamás se cruzan en un único punto.
Cuatro hábitos que rinden marcas en preguntas de sistemas: (i) reduce de forma ordenada —elimina la misma incógnita de todas las ecuaciones antes de pasar a la siguiente— y etiqueta cada ecuación nueva; (ii) cuando aparezca 0 = 0, nombra el caso ("compatible indeterminado") y escribe la solución general con un parámetro; el IB reparte marcas por la clasificación, no solo por los números; (iii) si surge 0 = k con k ≠ 0, declara "sistema incompatible, sin solución" y detente; (iv) verifica siempre la solución sustituyéndola en las ecuaciones originales —en un indeterminado, comprueba con dos valores distintos del parámetro—. Una verificación cuesta poco y blinda toda la pregunta.